Operaciones Fundamentales en Álgebra Lineal: Producto Vectorial, Escalar y Mixto en E3

Operaciones Fundamentales con Vectores en $\text{E}^3$

Producto Vectorial

Dados los vectores $\mathbf{u}=(u_1, u_2, u_3)$ y $\mathbf{v}=(v_1, v_2, v_3)$ en $\text{E}^3$, y considerando $\mathcal{B} = \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$ como una **base ortonormal** de $\text{E}^3$. Se designa el **producto vectorial** (o producto cruz) $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ como el vector:

$$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2v_3 - v_2u_3, -(u_1v_3 - v_1u_3), u_1v_2 - v_1u_2)$$

respecto a la base $\mathcal{B}$.

Propiedades del Producto Vectorial

1. $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = -(\mathbf{v} \times \mathbf{u})$ (Anticonmutatividad)
2. $(\lambda \mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (\lambda \mathbf{v}) = \lambda (\mathbf{u} \times \mathbf{v})$
3. $\mathbf{u} \times (\mathbf{u} + \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \times \mathbf{u}) + (\mathbf{u} \times \mathbf{w})$
4. $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ es **ortogonal** a $\mathbf{u}$ y a $\mathbf{v}$.
5. $|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 |\mathbf{v}|^2 - (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})^2$
6. Si $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}$, entonces $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son **linealmente dependientes**.
7. Si $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son **linealmente independientes**, entonces $\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{u} \times \mathbf{v}\}$ es una **base de $\text{E}^3$**.

Interpretación Geométrica

Si $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son linealmente independientes, forman un paralelogramo $ABCD$ con ángulo $\theta$ tal que $0 \le \theta \le \pi$. El **área** ($S_{ABCD}$) del paralelogramo es:

$$S_{ABCD} = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \sin \theta = |\mathbf{u} \times \mathbf{v}|$$

Además, el vector resultante $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ es ortogonal tanto a $\mathbf{u}$ como a $\mathbf{v}$.

Sentido del Producto Vectorial

El sentido se define usando la base ortonormal directa $\mathcal{B} = \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$:

• $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$
• $\mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k}$
• $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$
• $\mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i}$
• $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$
• $\mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$

Producto Mixto

Dados tres vectores $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ de $\text{E}^3$, se define el **producto mixto** de $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ como el número real resultante de multiplicar escalarmente $\mathbf{u}$ por el producto vectorial de $\mathbf{v}$ por $\mathbf{w}$, es decir:

$$[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}] = \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$$

Proposición

Si $\mathbf{u}=(u_1, u_2, u_3)$, $\mathbf{v}=(v_1, v_2, v_3)$ y $\mathbf{w}=(w_1, w_2, w_3)$ respecto a una base ortonormal, el producto mixto se calcula mediante el **determinante** de la matriz formada por sus componentes:

$$[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}] = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$$

Propiedades del Producto Mixto

1. El producto mixto es invariante bajo **permutaciones cíclicas** de los vectores: $[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}] = [\mathbf{w}, \mathbf{u}, \mathbf{v}] = [\mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{u}] = -[\mathbf{u}, \mathbf{w}, \mathbf{v}] = -[\mathbf{v}, \mathbf{u}, \mathbf{w}] = -[\mathbf{w}, \mathbf{v}, \mathbf{u}]$
2. Propiedad de linealidad respecto al primer vector: $[\lambda \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}] = [\mathbf{u}, \lambda \mathbf{v}, \mathbf{w}] = \dots = \lambda [\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}]$
3. Propiedad distributiva: $[\mathbf{u} + \mathbf{u}', \mathbf{v}, \mathbf{w}] = [\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}] + [\mathbf{u}', \mathbf{v}, \mathbf{w}]$
4. Si $[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}] = 0$, entonces $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ son **linealmente dependientes** (coplanares).

Interpretación Geométrica

El valor absoluto del producto mixto representa el **volumen** ($V$) del paralelepípedo determinado por los tres vectores:

$$V = |[\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}]|$$

Producto Escalar

Dados $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ en $\text{V}^3$. Se define el **producto escalar** (o producto interno) de $\mathbf{u}$ por $\mathbf{v}$, denotado $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$, como:

$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \begin{cases} |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \cos(\theta) & \text{si } \mathbf{u} \neq \mathbf{0} \text{ y } \mathbf{v} \neq \mathbf{0} \ 0 & \text{si } \mathbf{u} = \mathbf{0} \text{ o } \mathbf{v} = \mathbf{0} \end{cases}$$

donde $\theta$ es el ángulo entre $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$.

Propiedades del Producto Escalar

1. **Norma (Módulo):** La norma al cuadrado de $\mathbf{u}$ es $\|\mathbf{u}\|^2 = \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} \cos(0) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}$. Por lo tanto, $|\mathbf{u}| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}$.
2. **Proyección:** $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}_\text{proy}_\mathbf{u}|$, donde $\mathbf{v}_\text{proy}_\mathbf{u}$ es el vector proyección de $\mathbf{v}$ sobre $\mathbf{u}$. (Nota: La expresión original parece incompleta o confusa aquí, se corrige el concepto clave).
3. **Simetría o Conmutatividad:** $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$
4. **Asociatividad respecto a escalares:** Para todo $\lambda \in \mathbb{R}$ y para todo $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \text{V}^3$, $(\lambda \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = \lambda (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$.
5. **Distributividad:** Para todo $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \text{V}^3$, $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}$.

Expresión Analítica y Conceptos Relacionados

Vector Unitario

Un vector $\mathbf{u} \in \text{V}^3$ es **unitario** si su módulo es 1, es decir, $|\mathbf{u}| = 1$. Si un vector $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$, el vector unitario $\mathbf{\hat{u}}$ en la misma dirección y sentido que $\mathbf{u}$ es:

$$\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|}$$

Base Ortonormal

Una base $\mathcal{B} = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}$ de $\text{V}^3$ es **ortonormal** o métrica si los vectores que la forman son **unitarios** y **ortogonales** dos a dos (es decir, $\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j = \delta_{ij}$, donde $\delta_{ij}$ es el delta de Kronecker).

Ortogonalidad de Vectores

Dos vectores $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ no nulos son **ortogonales** si y solo si su producto escalar es cero: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$.