Operaciones Fundamentales con Números Racionales e Irracionales: Fracciones y Radicales

Números Irracionales

Los números irracionales son aquellos cuyas expresiones decimales son ilimitadas y no periódicas. Este conjunto se representa comúnmente con la letra I. Para estos números, es imposible calcular su fracción generatriz.

Operaciones con Números Racionales (Fracciones)

Suma y Resta de Fracciones

Fracciones con el Mismo Denominador

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, simplemente se suman o se restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador.

Ejemplo de Suma: Se suman los numeradores entre sí. El resultado se escribe como el nuevo numerador, y como denominador se mantiene el denominador común de las fracciones originales.

Ejemplo de Resta: Se restan los numeradores entre sí. El resultado se escribe como el nuevo numerador, y como denominador se mantiene el denominador común.

Fracciones con Distinto Denominador

Cuando las fracciones tienen diferentes denominadores, se deben seguir estos pasos:

1. En primer lugar, se reducen los denominadores a un denominador común. Esto se logra hallando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores originales.
2. Se calculan las fracciones equivalentes con este denominador común.
3. Finalmente, se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas, manteniendo el denominador común.

Multiplicación de Fracciones

La regla para multiplicar dos o más números racionales (fracciones) es la siguiente:

• El resultado será otro número racional que tiene por numerador el producto de los numeradores originales.
• El denominador del resultado será el producto de los denominadores originales.
• Luego, se simplifica la fracción resultante si es posible.

Operaciones con Radicales

Multiplicación de Radicales

Radicales con el Mismo Índice

Para resolver multiplicaciones de raíces (radicales) con el mismo índice, se utiliza la propiedad asociativa: se multiplican los radicandos (las cantidades bajo el signo radical) y se mantiene el mismo índice.

Ejemplo: √a * √b = √(a*b)

Radicales con Distinto Índice

Para resolver multiplicaciones de radicales con índices diferentes, se siguen estos pasos:

1. Se halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices. Este será el nuevo índice común.
2. Se ajusta cada radical: se multiplica el índice original por el número necesario para alcanzar el m.c.m. encontrado. El exponente del radicando se multiplica por ese mismo número.
3. Una vez que todos los radicales tienen el mismo índice, se utiliza la propiedad asociativa como en el caso anterior: se multiplican los radicandos bajo el radical con el índice común.
4. Se simplifica el radical resultante si es posible.

División de Radicales

Radicales con el Mismo Índice

Para dividir radicales con el mismo índice, se dividen los radicandos y se conserva el mismo índice.

Ejemplo: √a / √b = √(a/b)

Radicales con Distinto Índice

Para dividir radicales con distinto índice:

1. Primero, se reducen los radicales a un índice común (hallando el m.c.m. de los índices originales, como en la multiplicación).
2. Luego, se dividen los radicandos, manteniendo el índice común.
3. Al finalizar la operación, se debe simplificar el radical resultante si es posible.

Racionalización de Radicales

La racionalización de radicales es un proceso que consiste en eliminar los radicales del denominador de una fracción. Esto permite facilitar cálculos posteriores, como la suma o resta de fracciones que involucran radicales.