Operaciones con Polinomios y Fracciones Algebraicas: Todo lo que necesitas saber

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Conceptos Básicos de Polinomios

Es fundamental recordar que siempre se debe simplificar al trabajar con un polinomio. Por ejemplo, en la expresión:

7x⁶y + 4x³ - 2y + 5y³x + 8

• Grado del polinomio: Es 7 (correspondiente al monomio de mayor grado).
• Término independiente: Es 8 (aquel que no tiene parte literal). Si no aparece de forma explícita, su valor es 0.

Valor Numérico de un Polinomio

Para hallar el valor numérico de un polinomio, por ejemplo P(x,y) = 7x⁶y + 4x³ - 2y + 5y³x + 8, se sustituyen las variables por los valores indicados.

Para calcular P(2, -1), se sustituye la x por 2 y la y por -1, resolviendo las operaciones resultantes.

Operaciones con Polinomios

Suma de Polinomios

Para realizar P(x) + Q(x), donde por ejemplo P = 2x⁴ - 3x² y Q = 4x² - 2x + 8, se deben ordenar los monomios por su grado y sumar aquellos que sean semejantes. Si falta algún grado intermedio, se deja el espacio vacío.

Resta de Polinomios

En la operación P(x) - Q(x), se procede de forma similar a la suma, pero con una diferencia crucial: se les cambia el signo a todos los monomios del polinomio Q (el sustraendo), ya que el signo negativo afecta a todo el paréntesis.

Multiplicación de Polinomios

Para multiplicar P(x) · Q(x), se multiplica cada término de un polinomio por todos los términos del otro. Al final, se suman los términos semejantes como en una suma normal.

Ejemplo visual de disposición:

          4x² - 2x + 8
        x 2x⁴ - 3x²
        ----------------------
        -12x⁴ + 6x³ - 24x²
  + 8x⁶ - 4x⁵ + 16x⁴
  ----------------------------
    8x⁶ - 4x⁵ + 4x⁴ + 6x³ - 24x²

División de Polinomios

Regla de Ruffini

Se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x - a). Por ejemplo, para dividir (x³ - x² + x - 3) entre (x - 1):

• Coeficientes: +1, -1, +1, -3
• Valor de a: 1
• Resultado: El resto es -2 y el cociente resultante es x² + 1.

Teorema del Resto

El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a coincide exactamente con el resto de la división de P(x) entre (x - a). Es decir: P(a) = R.

Ejemplo: Para P(x) = x³ - 3x² + x + 2 evaluado en x = 3:

• Mediante Ruffini con x = 3, obtenemos un resto de 5.
• Comprobación: Al sustituir la x por 3 en el polinomio, el resultado final debe ser 5.

Raíces de un Polinomio

Las raíces son los valores que hacen que el polinomio valga 0. Se calculan utilizando la Regla de Ruffini probando con los divisores del término independiente. Si el polinomio no tiene término independiente, primero extraemos factor común (sacamos tantas x como sea posible) para poder hallar las raíces restantes.

Factorización de Polinomios

Consiste en expresar el polinomio como producto de factores más simples. Por ejemplo:

P(x) = x³ - 5x² + 6x = x(x² - 5x + 6)

Buscamos los divisores de 6 (±1, ±2, ±3, ±6) y aplicamos Ruffini. Si al aplicar Ruffini con un valor a el resto es 0, el factor correspondiente es (x - a). Recuerda: si la raíz es 2, escribimos (x - 2); si la raíz es -2, escribimos (x + 2).

Resultado final del ejemplo: x · (x - 2) · (x - 3).

Igualdades Notables

• Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Cuadrado de una diferencia: (a - b)² = a² - 2ab + b²
• Suma por diferencia: (a + b)(a - b) = a² - b²

Potencia de un Polinomio: Triángulo de Tartaglia

Para elevar binomios a potencias superiores, utilizamos los coeficientes del Triángulo de Tartaglia (o Pascal):

      1 1
     1 2 1    -> (x + y)² = x² + 2xy + y²
    1 3 3 1   -> (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
   1 4 6 4 1

Si tenemos un caso como (2x - 2)³, sustituimos la x por 2x y la y por 2. Los signos se alternan (+, -, +, -) debido al signo negativo del binomio.