Operaciones y propiedades de números enteros, potencias y raíces

Números enteros y valor absoluto

Número entero: es un número formado por un signo (+ o -) y un valor. El opuesto de un número a se denota op(a) y cumple que op(op(a)) = a. Ejemplo: +1 es el opuesto de -1.

Valor absoluto: el valor absoluto de un número es su distancia al cero y se escribe con barras: |-1| = 1 o |+1| = 1.

Suma y resta de enteros

Suma de dos enteros:

• Si ambos tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo.
• Si tienen signos distintos, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del número con mayor valor absoluto.

Ejemplos: +5 + (+3) = +8; +5 + (-3) = +2; -5 + (-2) = -7.

Suma de varios enteros: se pueden sumar de dos en dos de izquierda a derecha, o bien sumar todos los positivos por un lado y todos los negativos por otro y luego combinar los resultados.

Resta de enteros: restar es equivalent a sumar el opuesto. Para calcular a - b hacemos a + op(b). Ejemplo: 7 - 4 = 7 + (-4) = 3.

Multiplicación y división de enteros

Multiplicación: se halla el producto de los valores absolutos y se asigna el signo según la regla de los signos.

Reglas de los signos (multiplicación):

• (+)·(+) = +
• (-)·(-) = +
• (+)·(-) = -
• (-)·(+) = -

División: se divide el valor absoluto del dividendo entre el valor absoluto del divisor y se asigna el signo según la regla de los signos (igual que en la multiplicación).

Reglas de los signos (división):

• (+)/(+) = +
• (-)/(-) = +
• (+)/(-) = -
• (-)/(+) = -

Propiedades de la multiplicación

• Asociativa: (a·b)·c = a·(b·c)
• Conmutativa: a·b = b·a
• Elemento neutro: a·+1 = +1·a = a
• Distributiva respecto a la suma: a·(b + c) = a·b + a·c
• Factor común: a·b + a·c = a·(b + c)

Potencias y raíces

Potencia: forma abreviada de expresar una multiplicación de factores iguales. Base es el factor que se repite; exponente es el número de veces que se repite.

Ejemplo: aⁿ indica que la base a se multiplica por sí misma n veces.

Signo con bases negativas: si la base es negativa, el signo del resultado depende de la paridad del exponente: exponente impar → resultado negativo; exponente par → resultado positivo.

Leyes de las potencias

• Producto de potencias de la misma base: a^m·aⁿ = a^m+n
• Cociente de potencias de la misma base: a^m / aⁿ = a^m-n (a ≠ 0)
• Potencia de una potencia: (a^m)ⁿ = a^m·n
• Potencia de un producto: (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ
• Potencia de un cociente: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (b ≠ 0)

Cuadrados perfectos y raíz cuadrada

Cuadrados perfectos: son los números que se obtienen elevando al cuadrado a otros números (por ejemplo, 1, 4, 9, 16, ...).

Raíz cuadrada exacta: la raíz cuadrada de un número es exacta y entera cuando existe un número entero cuyo cuadrado es exactamente ese número. La raíz cuadrada entera (parte entera de la raíz) de un número es el mayor entero cuyo cuadrado es menor o igual que ese número.

Operaciones con raíces

Producto de raíces: √a · √b = √(a·b) (si a y b son no negativas).

Cociente de raíces: √a / √b = √(a/b) (b > 0).

Potencias de una raíz: (√a)^m = a^m/2. En general, elevar una raíz a una potencia equivale a elevar el radicando al exponente resultante.

Jerarquía de las operaciones

Para evaluar una expresión numérica siga este orden:

1. Paréntesis y corchetes
2. Potencias y raíces
3. Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha)
4. Sumas y restas (de izquierda a derecha)

Observación: respetar esta jerarquía asegura resultados coherentes en cualquier operación que combine varios tipos de operaciones.