Operaciones Vectoriales y Fundamentos de Cinemática: Posición, Desplazamiento y Aceleración

Producto de un Escalar por un Vector

El producto de un escalar por un vector da como resultado una magnitud vectorial, es decir, un vector que:

• Tiene la misma dirección que el vector inicial.
• Tiene el mismo sentido que el vector inicial si el escalar es un número positivo.
• Tiene sentido contrario al vector inicial si el escalar es negativo.

El módulo del nuevo vector se obtiene multiplicando el valor absoluto del escalar por el módulo del vector original.

Producto Escalar de Dos Vectores

El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar (un número). Este escalar se obtiene multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo formado entre dichos vectores.

Propiedades del Producto Escalar:

• El producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre vale 0, porque el cos(90°) = 0.
• Si los vectores tienen la misma dirección y sentido, el producto escalar coincide con el producto de sus módulos, porque el cos(0°) = 1.
• El producto escalar de dos vectores con la misma dirección pero sentido contrario coincide con el producto de sus módulos pero con signo negativo, porque el cos(180°) = -1.
• El producto escalar de dos vectores siempre dará un número positivo si el ángulo que forman es menor de 90°.
• Siempre será negativo si el ángulo que forman está comprendido entre 90° y 180°.

Vector Posición

Se llama vector posición de un cuerpo, respecto a un sistema de referencia, al vector que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición que ocupa dicho cuerpo en cada momento.

• El módulo del vector posición nos proporciona la distancia a la que se encuentra el objeto del origen del sistema de referencia.
• Si el cuerpo no se mueve, su vector posición permanece fijo, es constante (no cambia ni de módulo, ni de dirección, ni de sentido).
• Sin embargo, si el cuerpo está moviéndose, el vector posición cambia constantemente.

Vector Desplazamiento

Se llama vector desplazamiento de un cuerpo que se mueve entre dos instantes de tiempo (inicial y final) al vector que va desde la posición inicial hasta la posición final.

Es decir, el vector desplazamiento es el vector que se obtiene al restar el vector de posición final menos el inicial.

• Su módulo indica la distancia en línea recta que hay entre las dos posiciones (inicial y final).
• El vector desplazamiento, en general, no coincide con el espacio recorrido sobre la trayectoria. Solo coincide cuando la trayectoria es rectilínea y no se invierte el sentido del movimiento.

Componentes Intrínsecas de la Aceleración

Para que en un movimiento haya aceleración es necesario que varíe el vector velocidad (ya sea en módulo, dirección o ambos).

Aceleración Tangencial

La aceleración tangencial es la componente de la aceleración que mide los cambios en el módulo de la velocidad (la rapidez). Se calcula (de forma aproximada para intervalos finitos) como el cociente entre la variación del módulo de la velocidad entre dos instantes y el tiempo transcurrido entre dichos instantes.

• En un movimiento rectilíneo, puede que haya o no aceleración tangencial, dependiendo de si varía o no el módulo de la velocidad.
• En un movimiento circular ocurre lo mismo que en un movimiento rectilíneo respecto a la aceleración tangencial.
• La aceleración tangencial siempre tiene la misma dirección que la velocidad (es tangente a la trayectoria).
• Tiene el mismo sentido que la velocidad si el módulo de la velocidad (rapidez) aumenta.
• Tiene sentido contrario a la velocidad si el módulo de la velocidad (rapidez) disminuye.

Aceleración Normal o Centrípeta

La aceleración normal (o centrípeta) mide los cambios en la dirección de la velocidad.

• En los movimientos rectilíneos, la dirección de la velocidad nunca cambia y, por tanto, en estos movimientos nunca habrá aceleración normal o centrípeta.
• En los movimientos curvilíneos, la dirección de la velocidad siempre está cambiando y, por tanto, en estos movimientos siempre hay aceleración normal o centrípeta.
• Su dirección es siempre perpendicular a la velocidad (y por tanto, a la trayectoria) y apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria.
• Su módulo se calcula dividiendo el módulo de la velocidad al cuadrado entre el radio de curvatura de la trayectoria.

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)

El MRU es un movimiento que cumple dos condiciones:

• Trayectoria rectilínea: Se mueve en línea recta.
• Módulo de la velocidad constante: Su rapidez es constante (uniforme).

Consecuencias:

• Por ser rectilíneo, no tiene aceleración normal o centrípeta.
• Por ser uniforme (módulo de velocidad constante), no tiene aceleración tangencial.

Por tanto, en un MRU, la aceleración total es cero. Esto implica que el vector velocidad permanece constante en módulo, dirección y sentido.