Optimización de Áreas y Costos: Problemas Resueltos

Problema 1: Estadio Deportivo

El perímetro a vallar medirá: 2y + 2πx/2 = 2y + πx. Para poder expresar el perímetro en función de x, hay que buscar la relación entre x e y. La relación la obtendremos a partir del valor de la superficie del estadio (10000 m²). El estadio está formado por un rectángulo y dos semicírculos:

• Rectángulo de lados x e y → A_R = xy
• Dos semicírculos de radio x/2 → A_SC = (1/2)π(x/2)² = (1/2)π(x²/4) = πx²/8

El área de los dos semicírculos será: 2πx²/8 = πx²/4

Área del estadio: xy + π/4 x², luego 1000 = xy + π/4 x². Despejamos y:

Finalmente: p(x) = 2(10000/x - π/4 x) + πx = 20000/x - π/2 x + πx = 2000/x + π/2x

b) Coste vaya: f(x) = 1.2(10000/x - π/4 x) + 2πx = 20000/x - π/2 x + 2πx = 20000/x + 3π/2 x

c) f(x) = 20000/x + 3π/2 x

Problema 2: Depósito Cilíndrico

a) Como la base es un cilindro, A_b = πx²

b) A_l = 2πxh

V_c = πx²h

πx²h = 100

h = 100/πx²

A_l = 2πxh = 2πx(100/πx²) = 200/x

c) f(x) = 4πx² + 2(200/x) = 4πx² + 400/x

F(x) = 4πx² + 400/x, x ≠ 0

d) f'(x) = 8πx - 400/x². Igualar a 0 y después estudiar el signo de f'(x).

Problema 3: Rectángulo en Mármol

Calculamos la ecuación de la recta que pasa por A y B para expresar y en función de x.

A = (0, 20) y B = (20, 0)

r = (x - 0)/1 = (y - 20)/-1 = x = y - 20 = y = -x + 20

El área del rectángulo R será:

A_R = (80 - x)(80 - y) = (80 - x)[80 - (-x + 20)] = (80 - x)(80 + x - 20) = (80 - x)(60 + x) = -x² + 20x + 4800

Solución: el área del rectángulo R es -x² + 20x + 4800 (cm²), cuando 0 ≤ x ≤ 20 (cm).

b) Valor de x para que A_R sea máxima.

A_R = -x² + 20x + 4800, cuando 0 ≤ x ≤ 20

A_R' = -2x + 20, igualo -2x + 20 = 0

Estudiemos el signo de A_R' a la izquierda y derecha de 10.

Como A_R' es una recta de pendiente negativa cuya raíz es 10:

Luego en x = 10, A_R tiene un máximo relativo que es el absoluto en [0, 20] ya que a la izquierda de 10, A_R es creciente y a la derecha es decreciente.

Solución: el área del rectángulo R es máxima para x = 10 cm.

c) Para x = 10, A_R = -10² + 20 * 10 + 4800 = -100 + 200 + 4800 = 4900

Solución: el área máxima del rectángulo R mide 4900 cm².

Problema 4: Viaje en Autobús

Viajan 60 + x pasajeros, 0 ≤ x ≤ 20.

P = 800 - 10(60 + x - 60) = 800 - 10x

T = (60 + x)(800 - 10x) = 48000 + 200x - 10x² = -10x² + 200x + 48000

Solución: si viajan 60 + x pasajeros, VR cobra -10x² + 200x + 48000, siendo 0 ≤ x ≤ 20.

c) Coger la solución de antes, derivar, igualar a 0 y luego:

Solución: el número de pasajeros que maximiza lo que cobra en total la empresa VR es 70 (60 + 10).