Optimización Matemática en Negocios: Beneficios, Costos y Puntos Críticos

Problema 1: Maximización de Beneficios Empresariales

La función de ingreso total (IT) de una empresa está dada por:

IT = 1750Q - 1.7Q^2

Por otra parte, su función de costo total (CT) es:

CT = Q^3 - 61.25Q^2 + 1528.5Q + 2000

Objetivo: Obtener la cantidad (Q) que maximiza los beneficios y comprobar que, efectivamente, se trata de un máximo.

Resolución:

Para maximizar los beneficios, primero definimos la función de beneficio total (TT) como la diferencia entre el ingreso total y el costo total:

TT = IT - CT

Sustituyendo las funciones dadas:

TT = (1750Q - 1.7Q^2) - (Q^3 - 61.25Q^2 + 1528.5Q + 2000)

Reorganizando los términos para obtener la función de beneficio total:

TT = -Q^3 + (61.25 - 1.7)Q^2 + (1750 - 1528.5)Q - 2000
TT = -Q^3 + 59.55Q^2 + 221.5Q - 2000

Para encontrar los puntos críticos, derivamos la función de beneficio total con respecto a Q (TT') e igualamos a cero:

TT' = -3Q^2 + 119.1Q + 221.5

Igualando TT' a cero:

-3Q^2 + 119.1Q + 221.5 = 0

Aplicamos la fórmula general para resolver la ecuación cuadrática (ax^2 + bx + c = 0, donde a=-3, b=119.1, c=221.5):

Q = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a

Sustituyendo los valores:

Q = [-119.1 ± sqrt((119.1)^2 - 4(-3)(221.5))] / (2 * -3)
Q = [-119.1 ± sqrt(14184.81 + 2658)] / -6
Q = [-119.1 ± sqrt(16842.81)] / -6
Q = [-119.1 ± 129.7798] / -6

Obtenemos dos posibles valores para Q:

• Q1 = (-119.1 - 129.7798) / -6 = -248.8798 / -6 = 41.4799
• Q2 = (-119.1 + 129.7798) / -6 = 10.6798 / -6 = -1.7799

Dado que la cantidad (Q) no puede ser negativa en un contexto económico, consideramos Q = 41.4799 como el punto crítico relevante.

Comprobación del Máximo:

Para determinar si este punto crítico es un máximo, calculamos la segunda derivada de la función de beneficio total (TT''):

TT'' = d/dQ (-3Q^2 + 119.1Q + 221.5)
TT'' = -6Q + 119.1

Evaluamos TT'' en Q = 41.4799:

TT''(41.4799) = -6(41.4799) + 119.1
TT''(41.4799) = -248.8794 + 119.1
TT''(41.4799) = -129.7794

Dado que TT''(41.4799) = -129.7794 < 0, se confirma que la cantidad Q = 41.4799 maximiza los beneficios.

Problema 2: Condiciones de Sentido Económico para una Función de Costos

Demuestre qué condiciones deben cumplir los parámetros de una función de costos dada por C(Q) = aQ^3 + bQ^2 + cQ + d para que tenga sentido económico.

Resolución:

Para que una función de costos cúbica tenga sentido económico, debe cumplir ciertas propiedades relacionadas con su forma y comportamiento. Generalmente, se espera que el costo marginal (CMg) y el costo promedio (CMe) tengan forma de "U" y que los costos fijos sean no negativos.

1. Costo Marginal (CMg):

El costo marginal es la primera derivada de la función de costo total con respecto a la cantidad (Q):

CMg = C'(Q) = 3aQ^2 + 2bQ + c

Para que el CMg tenga forma de "U" (es decir, que primero disminuya y luego aumente), su segunda derivada debe ser positiva en su punto mínimo. Primero, encontramos el punto crítico del CMg derivándolo nuevamente:

CMg' = d/dQ (3aQ^2 + 2bQ + c) = 6aQ + 2b

Igualamos CMg' a cero para encontrar el Q donde el CMg es mínimo:

6aQ + 2b = 0
Q = -2b / (6a) = -b / (3a)

2. Condiciones para los Parámetros:

Para que la función de costos tenga sentido económico, se deben cumplir las siguientes condiciones:

• a > 0: Para que la curva de costo marginal (CMg) tenga forma de "U" (convexa), el coeficiente del término cúbico en la función de costo total (y del término cuadrático en CMg) debe ser positivo. Esto asegura que la segunda derivada del CMg (CMg'' = 6a) sea positiva, confirmando un mínimo.
• b < 0: Para que el mínimo del CMg ocurra en una cantidad positiva (Q > 0), y dado que a > 0, el término -b/(3a) debe ser positivo. Esto implica que b debe ser negativo.
• c > 0: Aunque no es estrictamente necesario que c sea positivo para la forma de "U", en muchos modelos económicos se asume que el costo marginal inicial (cuando Q es bajo) es positivo. Si Q=0, CMg = c.
• d ≥ 0: El término d representa los costos fijos (costo cuando Q=0). Los costos fijos no pueden ser negativos en un contexto económico real.
• 3ac > b^2: Esta condición asegura que el valor del costo marginal en su punto mínimo sea positivo. Sustituyendo Q = -b/(3a) en la función de CMg:

  CMg_min = 3a(-b/(3a))^2 + 2b(-b/(3a)) + c
  CMg_min = 3a(b^2/(9a^2)) - 2b^2/(3a) + c
  CMg_min = b^2/(3a) - 2b^2/(3a) + c
  CMg_min = -b^2/(3a) + c
  CMg_min = (3ac - b^2) / (3a)

  Para que CMg_min > 0, y dado que a > 0, se requiere que 3ac - b^2 > 0, es decir, 3ac > b^2.

Problema 3: Puntos Críticos de Funciones de una Variable

Obtenga los puntos críticos de las siguientes funciones. Determine si son máximos, mínimos o puntos de inflexión.

Función 1: Y = -2x^2 + 8x + 25

Para encontrar los puntos críticos, calculamos la primera derivada (Y') e igualamos a cero:

Y' = -4x + 8

Igualando a cero:

-4x + 8 = 0
8 = 4x
x = 8/4
x = 2

Para determinar si es un máximo o un mínimo, calculamos la segunda derivada (Y''):

Y'' = -4

Dado que Y'' = -4 < 0, el punto crítico en x = 2 corresponde a un máximo local.

El valor de la función en este punto es:

Y(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 25
Y(2) = -2(4) + 16 + 25
Y(2) = -8 + 16 + 25
Y(2) = 33

El punto crítico es (2, 33), que es un máximo.

Función 2: f(x) = x^3 + 6x^2 + 9

Para encontrar los puntos críticos, calculamos la primera derivada (f'(x)) e igualamos a cero:

f'(x) = 3x^2 + 12x

Igualando a cero:

3x^2 + 12x = 0
3x(x + 4) = 0

Esto nos da dos puntos críticos:

• x1 = 0
• x2 = -4

Para determinar si son máximos o mínimos, calculamos la segunda derivada (f''(x)):

f''(x) = 6x + 12

Evaluamos f''(x) en cada punto crítico:

• Para x = 0:

  f''(0) = 6(0) + 12 = 12

  Dado que f''(0) = 12 > 0, el punto crítico en x = 0 corresponde a un mínimo local. El valor de la función en este punto es:

  f(0) = (0)^3 + 6(0)^2 + 9 = 9

  El punto crítico es (0, 9), que es un mínimo.
• Para x = -4:

  f''(-4) = 6(-4) + 12 = -24 + 12 = -12

  Dado que f''(-4) = -12 < 0, el punto crítico en x = -4 corresponde a un máximo local. El valor de la función en este punto es:

  f(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 9
  f(-4) = -64 + 6(16) + 9
  f(-4) = -64 + 96 + 9
  f(-4) = 41

  El punto crítico es (-4, 41), que es un máximo.

Función 3: f(x) = x^3 + 243/x

Para encontrar los puntos críticos, calculamos la primera derivada (f'(x)) e igualamos a cero:

f'(x) = 3x^2 - 243/x^2

Igualando a cero:

3x^2 - 243/x^2 = 0

Multiplicamos toda la ecuación por x^2 (asumiendo x ≠ 0):

3x^4 - 243 = 0
3x^4 = 243
x^4 = 243/3
x^4 = 81

Tomando la raíz cuarta de ambos lados:

x = ±√[4]81
x = ±3

Esto nos da dos puntos críticos: x1 = 3 y x2 = -3.

Para determinar si son máximos o mínimos, calculamos la segunda derivada (f''(x)):

f''(x) = d/dx (3x^2 - 243x^-2)
f''(x) = 6x - 243(-2)x^-3
f''(x) = 6x + 486/x^3

Evaluamos f''(x) en cada punto crítico:

• Para x = 3:

  f''(3) = 6(3) + 486/(3)^3
  f''(3) = 18 + 486/27
  f''(3) = 18 + 18 = 36

  Dado que f''(3) = 36 > 0, el punto crítico en x = 3 corresponde a un mínimo local. El valor de la función en este punto es:

  f(3) = (3)^3 + 243/3 = 27 + 81 = 108

  El punto crítico es (3, 108), que es un mínimo.
• Para x = -3:

  f''(-3) = 6(-3) + 486/(-3)^3
  f''(-3) = -18 + 486/(-27)
  f''(-3) = -18 - 18 = -36

  Dado que f''(-3) = -36 < 0, el punto crítico en x = -3 corresponde a un máximo local. El valor de la función en este punto es:

  f(-3) = (-3)^3 + 243/(-3) = -27 - 81 = -108

  El punto crítico es (-3, -108), que es un máximo.

Problema 4: Puntos Críticos de Funciones de Varias Variables

Obtenga los puntos críticos de las siguientes funciones. Determine si son mínimos, máximos o puntos de silla (PDS).

Función 1: f(x,y) = 8x^2 + 3y^2 - 2x - 4xy + 2y + 1

Para encontrar los puntos críticos, calculamos las primeras derivadas parciales e igualamos a cero:

• Derivada parcial con respecto a x (f_x):

  f_x = ∂f/∂x = 16x - 4y - 2 = 0  (Ecuación 1)

• Derivada parcial con respecto a y (f_y):

  f_y = ∂f/∂y = 6y - 4x + 2 = 0  (Ecuación 2)

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

De la Ecuación 1, despejamos y:

16x - 2 = 4y
y = (16x - 2) / 4
y = 4x - 1/2

Sustituimos y en la Ecuación 2:

6(4x - 1/2) - 4x + 2 = 0
24x - 3 - 4x + 2 = 0
20x - 1 = 0
20x = 1
x = 1/20

Ahora, sustituimos el valor de x en la expresión para y:

y = 4(1/20) - 1/2
y = 1/5 - 1/2
y = 2/10 - 5/10
y = -3/10

El punto crítico es (1/20, -3/10).

Criterio de la Segunda Derivada para Funciones de Varias Variables:

Calculamos las segundas derivadas parciales:

• f_xx = ∂^2f/∂x^2 = 16
• f_yy = ∂^2f/∂y^2 = 6
• f_xy = ∂^2f/∂x∂y = -4
• f_yx = ∂^2f/∂y∂x = -4 (Confirmando que f_xy = f_yx)

Calculamos el determinante de la matriz Hessiana (D):

D = f_xx * f_yy - (f_xy)^2
D = (16)(6) - (-4)^2
D = 96 - 16
D = 80

Dado que D = 80 > 0 y f_xx = 16 > 0, el punto crítico (1/20, -3/10) es un mínimo local.

Función 2: f(x,y) = 2x^2 + y^2 + 4x - 6y - 3

Para encontrar los puntos críticos, calculamos las primeras derivadas parciales e igualamos a cero:

• Derivada parcial con respecto a x (f_x):

  f_x = ∂f/∂x = 4x + 4 = 0

  De aquí, x = -1.
• Derivada parcial con respecto a y (f_y):

  f_y = ∂f/∂y = 2y - 6 = 0

  De aquí, y = 3.

El punto crítico es (-1, 3).

Criterio de la Segunda Derivada para Funciones de Varias Variables:

Calculamos las segundas derivadas parciales:

• f_xx = ∂^2f/∂x^2 = 4
• f_yy = ∂^2f/∂y^2 = 2
• f_xy = ∂^2f/∂x∂y = 0
• f_yx = ∂^2f/∂y∂x = 0

Calculamos el determinante de la matriz Hessiana (D):

D = f_xx * f_yy - (f_xy)^2
D = (4)(2) - (0)^2
D = 8 - 0
D = 8

Dado que D = 8 > 0 y f_xx = 4 > 0, el punto crítico (-1, 3) es un mínimo local.

El valor de la función en este punto es:

f(-1, 3) = 2(-1)^2 + (3)^2 + 4(-1) - 6(3) - 3
f(-1, 3) = 2(1) + 9 - 4 - 18 - 3
f(-1, 3) = 2 + 9 - 4 - 18 - 3
f(-1, 3) = 11 - 4 - 18 - 3
f(-1, 3) = 7 - 18 - 3
f(-1, 3) = -11 - 3
f(-1, 3) = -14