Optimización de Mediciones con Ecuaciones de Condición y Precisión Variable

Ajuste por Ecuaciones de Condición para Observables Incorreladas Medidas con Distinta Precisión

Este apartado aborda el método de ajuste por ecuaciones de condición, similar al previamente estudiado, pero enfocado en un escenario donde la inconsistencia del método permite determinar las estimaciones de las observables y los valores óptimos de los mensurandos objetivo. Cuando se trata de observables incorrelacionadas y medidas con distinta precisión, el ajuste se realiza aplicando el criterio de los mínimos cuadrados para los residuos, considerando el peso asignado a cada uno de ellos.

Es importante destacar que el número de ecuaciones de condición disponibles será igual al número de medidas redundantes (r). Cada una de estas ecuaciones incluirá un número de residuos igual al número de observaciones (n). Por lo tanto, el sistema de ecuaciones de condición presentará un número menor de ecuaciones (r) que de incógnitas (n). Esto implica que:

• No será posible expresar cada residuo de forma separada en una ecuación.
• Se deberán considerar las ecuaciones derivadas de la minimización de los cuadrados de los residuos (φ).
• Se utilizará un modelo distinto para la suma de los cuadrados de los residuos (φ):

Donde:

• b_hi representa el coeficiente del residuo i en la ecuación de condición h.
• v_i es el residuo i.
• d_h es la componente numérica de la ecuación de condición h.
• k_h son los multiplicadores de Lagrange correspondientes a cada ecuación.

En esta formulación, las variables son los residuos (v_i) y los multiplicadores de Lagrange. Para minimizar la función, se procederá a derivar respecto de cada una de estas variables e igualar cada derivada a cero. La introducción de los multiplicadores de Lagrange garantiza que las ecuaciones de condición se cumplan durante el proceso de minimización de la función.

La ecuación también puede expresarse en forma matricial:

φ = V^tPV - 2K^t(BV + D)

El mínimo de esta función puede deducirse a partir de la ecuación original o de la última expresión matricial. Para la primera deducción, se obtendrá:

Se observa que la matriz de coeficientes de los residuos (B) es igual a la traspuesta de la matriz de coeficientes de los multiplicadores de Lagrange (B^t) de las ecuaciones obtenidas al igualar a cero las derivadas parciales de φ respecto de cada uno de los residuos (v_i). Los rangos de las matrices son:

• (nx1) para la matriz de los residuos (V).
• (nxn) para la matriz cofactor (Q).
• (nxr) para la matriz de coeficientes de los multiplicadores de Lagrange (B^t).
• (rx1) para la matriz de los multiplicadores.

De manera similar, utilizando la ecuación matricial:

A partir de esta última expresión y recurriendo a la ecuación general del método de ajuste por ecuaciones de condición, se obtiene: