Oscilador Armónico Simple: Conceptos y Ecuaciones del Movimiento
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El Oscilador Armónico Simple
Introducción
Vamos a considerar un sistema mecánico muy simple que puede realizar un movimiento oscilatorio. Por ejemplo, una masa m conectada a un resorte de constante k.
Fuerza Restauradora y Ley de Hooke
Si comprimimos el resorte, se desarrollará una fuerza que tiende a restaurar el resorte a su posición inicial, y lo mismo es cierto si estiramos el resorte. Si la posición de equilibrio es designada por x = 0 y la masa m es desplazada desde esa posición de equilibrio una distancia x, será ejercida sobre m una fuerza F, tal que:
F = -kx
El signo menos indica que la fuerza es siempre opuesta al desplazamiento y tiende a restaurar el sistema hacia el equilibrio. Esta relación se conoce como la ley de Hooke.
Ecuación del Movimiento
Para obtener una relación entre la aceleración y la posición de la masa, hacemos uso de la segunda ley de Newton:
F = -kx = ma
Si denominamos ω = (k/m)1/2, obtenemos la ecuación del movimiento del oscilador armónico libre:
x'' + ω²x = 0
Solución de la Ecuación de Movimiento
El desplazamiento x(t) es:
x(t) = A sen(ωt + δ)
Derivando obtenemos la velocidad y la aceleración. Las constantes arbitrarias A y δ dependen de las condiciones iniciales.
Interpretación Física de A y δ
- Amplitud (A): La función sen(ωt + δ) está comprendida entre +1 y -1. Así, los valores máximo y mínimo de x son +A y -A. Por tanto, A es la máxima elongación de x, y recibe el nombre de amplitud.
- Ángulo de Fase (φ): El argumento de la función seno es un ángulo φ = ωt + δ, que se incrementa con el tiempo y es denominado ángulo de fase.
Periodo y Frecuencia Natural
El periodo del movimiento es:
T = 2π/ω = 2π(m/k)1/2
ω = (k/m)1/2 es la frecuencia natural.
La amplitud de la velocidad es su valor máximo Aω, y la amplitud de la aceleración es su valor máximo Aω².
Consideraciones Energéticas
El hecho de que la velocidad sea cero en el desplazamiento máximo y máxima en el desplazamiento cero ilustra el concepto de intercambio entre energía potencial y energía cinética, permaneciendo constante la energía total. Los valores de la energía total en cualquier instante de tiempo, la energía potencial máxima y la energía cinética máxima serán iguales, es decir:
E = Ep + Ec = Ep(max) = Ec(max)