Poligonación en Topografía: Método, Errores y Compensación de Levantamientos

Poligonación en Topografía

Este método se realiza cuando no se pueden radiar todos los puntos de un levantamiento desde una misma estación. Esto se hace mediante la medición de distancias y del ángulo que forman las visuales a los puntos anterior y posterior.

La precisión establecida de antemano determina los errores admisibles, el instrumental y la metodología a emplear. El instrumental, método y geometría de la poligonal determinan el error de cierre (Ec). Si Ec es menor que la tolerancia (T), hay compensación.

Clasificación de Poligonales

Las poligonales se clasifican según:

• Puntos de partida y llegada: Cerrada, Abierta, Encerrada (o encuadrada), Colgada.
• Observación: Orientada, No orientada.

Observación de una Poligonal

En la actualidad, la observación de poligonales se realiza con Estación Total. Los datos que se almacenan de cada estación a la contigua son: ángulos horizontales y verticales, distancia reducida o geométrica, altura de aparato y altura de prisma.

Para corregir los errores en las mediciones, las observaciones se realizan siguiendo la regla de Bessel, midiendo cada dirección en Círculo Directo (CD) y Círculo Inverso (CI), sacando el promedio de cada lectura.

Errores en Poligonación

Errores a Priori

En la realización de la poligonal se cometen errores angulares y de distancia.

• Ea (Error Angular): Error que se produce por causa de los errores angulares acimutales del aparato. Fórmula: Ea < (L/n) * sqrt(ea^2 / rcc) * sqrt(2) * sqrt(n(n+1)(2n+1)/6)
• El (Error Lineal): Error producido en la medida de las distancias de los diversos tramos del itinerario. Este error está asociado al valor nominal del aparato y al error que se comete al estacionar y colocar la mira. Fórmulas:
  • Caso de Teodolito y Mira (TyM): El < (sqrt(n)/sqrt(2)) * sqrt(ee + es + a + (bD))
  • Otra fórmula: El < (L/n) * eps * sqrt(n) * (1/sqrt(2))
• Etotal: Error total combinado. Fórmula: ET = sqrt(Ea^2 + El^2)

Errores de Cierre

Error de Cierre Angular (Ecac)

Calculados los acimutes de todos los tramos, llegado al último, lo restamos con el valor previsto. Ecieac = ACconocido - ACobs. Tolerancia (Tol). Si la poligonal tiene n estaciones, al cabo de n medidas angulares el error admisible será: Tol = ea * sqrt(2) * sqrt(n).

Compensación Angular

Si Ecac < Tol, procedemos a la compensación. Para ello, modificaremos los ángulos medidos en campo de modo que el Ecac quede anulado. La corrección aplicada al primer ángulo repercute a todas las demás. Corrección por ángulo: C = Eceac / n. Los ángulos compensados serían: ac1 + C, ac2 + 2C, ..., acn + nC.

Cálculo de las Coordenadas Parciales

Obteniendo los acimutes compensados y las distancias reducidas de cada tramo, podemos calcular las coordenadas parciales:

• Δx = D * sin(ac)
• Δy = D * cos(ac)

Como las distancias y acimutes tienen errores, esas coordenadas parciales calculadas no son exactas.

Error de Cierre en Coordenadas

Si sumamos las coordenadas parciales, tendremos la Δx y la Δy totales calculadas para el último tramo respecto del primero. Δx_total_calculado = Σ Δx_i, Δy_total_calculado = Σ Δy_i.

El error de cierre en coordenadas es la diferencia entre los valores teóricos (o conocidos) y los calculados:

• ex = Δx_teórico - Δx_total_calculado
• ey = Δy_teórico - Δy_total_calculado

El error total de cierre en coordenadas es Etotal = sqrt(ex^2 + ey^2). Al conjunto de ambos errores (ex, ey) se les llama error de cierre en coordenadas de la poligonal.

Compensación de Coordenadas

Si el error de cierre en coordenadas (sqrt(ex^2 + ey^2)) está dentro de la tolerancia admisible, se procede a la compensación de las coordenadas parciales. La tolerancia puede estimarse de diferentes maneras, por ejemplo, sqrt(ex^2 + ey^2) < k * ΣD.

Existen diferentes métodos de compensación según la predominancia de los errores:

1. Error Angular predominante sobre el Lineal:
   • Criterio: ex/Σ|Δx_obs| ≈ ey/Σ|Δy_obs|
   • Fórmulas de compensación (para cada tramo AB):
     • Δx_AB_comp = Δx_AB_obs - Δx_AB_obs * ex / Σ|Δx_obs|
     • Δy_AB_comp = Δy_AB_obs - Δy_AB_obs * ey / Σ|Δy_obs|
2. Error Lineal predominante sobre el Angular:
   • Criterio: ex/Σ|Δy_obs| ≈ ey/Σ|Δx_obs|
   • Fórmulas de compensación (para cada tramo AB):
     • Δx_AB_comp = Δx_AB_obs - Δy_AB_obs * ex / Σ|Δy_obs| (Interpretación posible)
     • Δy_AB_comp = Δy_AB_obs - Δx_AB_obs * ey / Σ|Δx_obs| (Interpretación posible)
3. Errores Angulares y Lineales de magnitud similar (Método de Bowditch):
   • Criterio: sqrt(ex^2 + ey^2) < k * ΣD
   • Fórmulas de compensación (para cada tramo AB):
     • Δx_AB_comp = Δx_AB_obs - D_AB * ex / ΣD
     • Δy_AB_comp = Δy_AB_obs - D_AB * ey / ΣD