Potencias y Radicales: Fundamentos, Propiedades y Operaciones Esenciales

Potencias de Exponente Natural y Entero

Una potencia se expresa como aⁿ, donde a es la base y n es el exponente.

Casos Particulares

• Una potencia de base cero y exponente positivo es cero: 0ⁿ = 0 (si n > 0).
• Un número distinto de cero elevado a cero es igual a 1: a⁰ = 1 (si a ≠ 0).
• Una potencia de base uno y exponente cualquiera es uno: 1ⁿ = 1.
• Un número elevado a uno es igual a dicho número: a¹ = a.

Base Negativa

Consideremos el ejemplo: (-2)³ = (-2) × (-2) × (-2) = -8.

• Si el exponente es par, el resultado es positivo. Ejemplo: (-2)⁴ = 16.
• Si el exponente es impar, el resultado es negativo. Ejemplo: (-2)³ = -8.

Propiedades de las Potencias

• Producto de potencias de la misma base: a^m × aⁿ = a^m+n
• Cociente de potencias de la misma base: a^m ÷ aⁿ = a^m-n (si a ≠ 0)
• Potencia de una potencia: (a^m)ⁿ = a^m×n
• Potencia de un producto: (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ
• Potencia de un cociente: (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (si b ≠ 0)

Potencia de Exponente Negativo

Una potencia con exponente negativo es igual al inverso de la base elevada al exponente positivo: a^-n = 1 / aⁿ (si a ≠ 0).

Orden de Operaciones (Jerarquía)

Al realizar operaciones combinadas, se sigue este orden:

1. Paréntesis o corchetes.
2. Potencias y raíces.
3. Productos y cocientes (de izquierda a derecha).
4. Sumas y restas (de izquierda a derecha).

Radicales

Número de Raíces de un Radical

Radicando Negativo

• Índice par: Ejemplo: √(-8). No tiene solución en el conjunto de los números reales (ℝ).
• Índice impar: Ejemplo: ∛(-8) = -2. Tiene una única raíz real, y es negativa.

Radicando Positivo

• Índice par: Ejemplo: √4 = 2 (raíz principal). La ecuación x²=4 tiene dos soluciones: +2 y -2.
• Índice impar: Ejemplo: ∛8 = 2. Tiene una única raíz real positiva.

Relación entre Potencias con Exponentes Fraccionarios y Radicales

Un radical se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: ⁿ√a^m = a^m/n.

Ejemplo: ∛(2⁵) = 2^5/3.

Simplificación de Radicales

Se pueden simplificar si el índice de la raíz y el exponente del radicando tienen un divisor común. Se dividen ambos por dicho número.

Ejemplo: ⁴√2⁶ (divisor común 2) = ^(4/2)√2^(6/2) = √2³.

Introducir Factores Dentro del Radical

Para introducir un factor dentro de un radical, se eleva dicho factor al índice de la raíz y se multiplica por el radicando existente.

Ejemplo: 2 × ∛3 = ∛(3 × 2³) = ∛(3 × 8) = ∛24.

Extraer Factores Fuera de un Radical

Para extraer factores:

1. Descomponer el radicando en factores primos.
2. Se pueden sacar fuera aquellos factores cuyo exponente sea mayor o igual que el índice del radical.
3. Se divide el exponente del factor por el índice: el cociente es el exponente del factor que sale fuera, y el resto es el exponente del factor que queda dentro.

Ejemplo: √375 = √(3 × 5³) = √(3 × 5² × 5¹) = 5^(2/2) × √(3 × 5¹) = 5√15.

Suma y Resta de Radicales

Para sumar o restar radicales, es necesario que tengan el mismo índice y el mismo radicando (radicales semejantes). Si no lo son inicialmente, se intenta simplificarlos (extrayendo factores) para ver si se pueden convertir en semejantes.

Ejemplo: √3 + 2√3 - 5√3 = (1 + 2 - 5)√3 = -2√3.

Producto y Cociente de Radicales

Producto

Para multiplicar dos o más radicales, necesitamos que tengan el mismo índice. El resultado es otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es el producto de los radicandos.

Ejemplo: √2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4.

Cociente

Similar al producto, los radicales deben tener el mismo índice. El resultado es otro radical con el mismo índice y cuyo radicando es el cociente de los radicandos.

Ejemplo: ∛16 ÷ ∛2 = ∛(16 / 2) = ∛8 = 2.

Potencia y Raíz de un Radical

Potencia

Para elevar un radical a una potencia, simplemente se eleva el radicando a dicha potencia.

Ejemplo: (√2)³ = √(2³) = √8.

Raíz

La raíz de un radical es otro radical cuyo índice es el producto de los índices y cuyo radicando es el mismo.

Ejemplo: √ (∛2) = ^(2×3)√2 = ⁶√2.

Racionalización

Racionalizar consiste en eliminar las raíces del denominador de una fracción.

Caso 1: Denominador es una raíz cuadrada única (√a)

Se multiplica numerador y denominador por √a.

Caso 2: Denominador es una raíz n-ésima única (ⁿ√a^m, con m < n)

Se multiplica numerador y denominador por una raíz del mismo índice (n) y cuyo radicando sea la base (a) elevada al exponente que falta para completar el índice (n-m): ⁿ√a^(n-m).

Caso 3: Denominador es una suma o resta con raíces (generalmente cuadradas)

Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

• El conjugado de (a + b) es (a - b).
• El conjugado de (a - b) es (a + b).

Se utiliza la identidad notable del producto de suma por diferencia: (a + b) × (a - b) = a² - b².