Principios de Dinámica: Momento Lineal, Leyes de Kepler y Gravitación Universal

Estado de Movimiento de los Cuerpos: Momento Lineal e Inercia

La magnitud que describe el estado de movimiento de un cuerpo es el momento lineal (también conocido como cantidad de movimiento). Se calcula como el producto de la masa por la velocidad del cuerpo:

p = m · v

La masa de un cuerpo es la medida cuantitativa de su inercia. La inercia es la resistencia que oponen los cuerpos a modificar su estado de movimiento.

Consecuencias de las Leyes del Movimiento

Conservación del Momento Lineal

Como consecuencia de la Tercera Ley de Newton, el momento lineal total de un sistema aislado (sometido únicamente a fuerzas internas) es constante.

p₁ + p₂ = constante

En una interacción entre dos partículas donde no actúan fuerzas externas, se produce una transferencia de momento lineal entre ellas, manteniendo el momento lineal total del sistema constante. La variación de momento de una es igual y opuesta a la de la otra:

Δp₁ = -Δp₂

Este es uno de los principios de conservación fundamentales de la Física.

Impulso Mecánico

El impulso mecánico (I) es el efecto de la actuación de una fuerza durante un intervalo de tiempo. Un impulso produce una variación en el momento lineal del cuerpo sobre el que actúa.

I = Fₘ · Δt = Δp

Esto implica que una fuerza de poca intensidad aplicada durante mucho tiempo puede producir el mismo efecto (la misma variación de momento lineal) que una fuerza muy intensa aplicada durante un tiempo breve.

Dinámica del Movimiento Circular Uniforme (MCU)

Todo cuerpo que describe un Movimiento Circular Uniforme (MCU) está sometido a una fuerza centrípeta, dirigida hacia el centro de la trayectoria. Esta fuerza es la responsable de la aceleración centrípeta (o normal).

Fₙ = m · aₙ = m · v²/r = m · ω² · r

Leyes de Kepler sobre el Movimiento Planetario

Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol.

1. Primera Ley (Ley de las Órbitas): Los planetas se mueven en órbitas elípticas alrededor del Sol, que está situado en uno de los focos de la elipse.
2. Segunda Ley (Ley de las Áreas): La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Esto implica que la velocidad areolar de los planetas es constante.
   V_areolar = dA/dt = constante
3. Tercera Ley (Ley de los Períodos): Los cuadrados de los períodos orbitales (T) de los planetas son directamente proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol (r).
   T² = k · r³

Momento Angular en la Descripción de los Movimientos Curvilíneos

El momento angular (L) de un cuerpo de masa m, con velocidad v y cuyo vector de posición respecto del origen es r, se define como el producto vectorial del vector de posición por el momento lineal del cuerpo.

L = r × p = r × (m · v)

Su dirección es perpendicular al plano del movimiento. Para los movimientos circulares, puede ser útil expresar el valor del momento angular en función de magnitudes angulares:

L = m · r² · ω

El momento angular de un cuerpo varía si sobre él actúa un momento de una fuerza (M) o torque.

M = dL/dt = r × F

Consecuencias de la Constancia del Momento Angular

El momento angular es constante si no actúan momentos de fuerzas externas sobre el cuerpo o si las fuerzas que actúan son centrales. Esto exige que el movimiento se mantenga en el mismo plano. El momento angular de los planetas es constante, ya que se mueven por la acción de fuerzas centrales (la fuerza gravitatoria) dirigidas hacia el Sol, lo que explica que sus órbitas sean planas y estables. Lo mismo ocurre con los satélites. La constancia del momento angular está directamente relacionada con la Segunda Ley de Kepler:

dA/dt = L / 2m

Ley de Gravitación Universal de Newton

La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es siempre atractiva y se describe por una fuerza central que es directamente proporcional al producto de sus masas (m y m') e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (r) que los separa.

F = -G · (m · m') / r² · uᵣ

Donde G es la constante de gravitación universal y uᵣ es un vector unitario en la dirección radial.

Consecuencias de la Ley de la Gravitación Universal

• Explica la independencia de la masa en la caída libre, como había postulado Galileo. La aceleración de la gravedad (a) solo depende de la masa del cuerpo atractor (M) y de la distancia (r).
  a = G · M / r²
• A partir de la igualdad entre las expresiones de la fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta en un movimiento orbital, se obtiene:
  1. El significado físico de la constante k en la Tercera Ley de Kepler:
     k = 4π² / (G · M)
  2. La masa de los planetas (Mₚ) con satélites de período (T) y radio orbital (r) conocidos:
     Mₚ = (4π² · r³) / (G · T²)
  3. La velocidad orbital (v_orb) de planetas o satélites en torno a un cuerpo central de masa M a una distancia r:
     v_orb = √((G · M) / r)