Principios Esenciales de Sistemas Discretos y Control Digital

Conceptos Clave en Sistemas Discretos y Control Digital

Este documento recopila una serie de afirmaciones y definiciones fundamentales relacionadas con los sistemas discretos, el control digital y el procesamiento de señales.

Estabilidad y Propiedades de Sistemas Discretos

• La **secuencia de ponderación** (respuesta a un **impulso unitario**) es: 0.9^k/(k+5).
• Un **sistema** es **estable** si todos sus **polos** están dentro de la **circunferencia unitaria**. Ejemplos de funciones de transferencia (o sistemas) son: z/(z^2+z+1/2), z/(z^2+z+2/9), z/(z^2+1/4), z/(z^2+z/3).
• Si un sistema tiene un **polo** en z=0.5-0.5i, la **frecuencia** asociada es 2 rad/s.
• Las **condiciones de estabilidad** para un polinomio P(z)=z^2+az+b (según el **criterio de Jury**) son: |b|<1, P(1)>0, P(-1)>0.
• Un **sistema discreto** es **estable** si, para una **secuencia de entrada acotada**, genera una **secuencia de salida acotada** (**estabilidad BIBO**).
• La manera más simple de estudiar la **estabilidad** de G(z) es mediante el **método de Jury**.
• Se produce un **comportamiento de fases no mínimas** si se tiene: un **cero** en el **semiplano derecho** o **fuera del círculo unidad**.
• Un **cero adicional** no aumenta la **sobreoscilación** si está: en el **semiplano izquierdo** (o dentro del círculo unitario para sistemas discretos).
• Para obtener una **respuesta impulsional finita (FIR)**, el sistema debe tener todos sus **polos en el origen**.

Muestreo y Reconstrucción de Señales

• La **reconstrucción ideal de una señal** requiere: una **frecuencia de muestreo** Wm > 2Ω (donde Ω es la frecuencia máxima de la señal), un **tren de impulsos ideal** y un **filtro ideal**.
• El **espectro de una señal muestreada** x_m(t) con periodo T es periódico y se expresa como: X_m(ω) = X_m(ω + 2π/T).
• El **teorema de Whittaker-Shannon** no se puede utilizar en tiempo real debido a su naturaleza **acausal**.
• El **espectro de una señal muestreada aperiódica** es una **función continua periódica**.
• El **espectro de una señal continua aperiódica** es una **función continua aperiódica**.
• Si el **periodo de muestreo** es T=10, un **retardo** de T/2 es 5.
• La **periodicidad de folding** (o **aliasing**) impide recuperar el **espectro de la señal original**.
• Las afirmaciones correctas sobre el **retenedor de orden cero (ZOH)** son: a, c, d (las que describen su característica de **atenuación**).
• La **frecuencia de la componente fundamental** de la secuencia obtenida al muestrear sen(95t) con un periodo T es: 1.

Funciones de Transferencia y Respuestas de Sistemas

• Si G(s) representa a un sistema y T(s)=G(s)/(1+G(s)), entonces la **transformada Z** de G(s) con un retenedor de orden cero es: G(z)=(1-z^-1)Z{G(s)/s}.
• En un **lazo simple de control**, la **función de transferencia** (o transmisión) es: 1/(1+D(z)GHm(z)).
• La **transformada Z inversa** de e^(iwT)/(e^(iwT)-1) (o z/(z-1) en el dominio Z) corresponde a un **escalón unitario**.
• Para G(s)=1/(s+1), una posible representación en el dominio de la frecuencia discreta es: 0.6-0.9ω/(ω+0.6).
• Si T=0.2 y la **frecuencia verdadera** es 30 Hz, la **frecuencia angular** correspondiente es 12.49 rad/s.
• Si excitamos el sistema G(z)=(z+2)/(z^2-z+0.34) con muestras de una señal sinusoidal, la **respuesta en régimen permanente** es 0.4273.
• El **polo** de G_m(z) obtenido a partir de G(s)=2/(s-2) utilizando un **retenedor de orden cero (ZOH)** con un periodo de muestreo T (asumiendo T=1/3 para que 2T=2/3) es: z=e^(2/3).
• Para G(z)=z^2/(z^2+2.1z+0.2), la respuesta es: "ninguna".
• Si M y Φ son la **magnitud** y la **fase** de la **respuesta en frecuencia** de un sistema muestreado con periodo T, las afirmaciones correctas son: M(π)=0, M(5π/3)=M(-5π/3), M(π/4)=M(3π/4).

Consideraciones Adicionales

• Si un **sistema de control digital** presenta un **coeficiente estático de error**..., la respuesta es: "ninguna de las otras".
• Se puede afirmar que dos sistemas con un **coeficiente de error de posición (CPE) finito** son estables: **Sí**.