Probabilidad condicionada, teorema de la probabilidad total, Bayes y distribuciones binomial y de Poisson

Probabilidad Condicionada y Sucesos Dependientes e Independientes

A veces necesitamos calcular la probabilidad de un suceso, dada la condición adicional de que otro suceso ha ocurrido. El conocimiento del suceso ocurrido suele alterar la incertidumbre inicial que tenemos sobre el primer suceso. A esta probabilidad se le denomina probabilidad condicionada.

La definición de probabilidad condicionada, fijado un suceso A, verifica las tres condiciones de una medida de probabilidad:

1. P(B/A) ≥ 0
2. Sean B₁…B_n sucesos incompatibles: P(∪B_i/A) = ΣP(B_i/A)
3. P(Ω/A) = 1

En general, P(B/A) ≠ P(B). En este caso, decimos que B depende de A. Si P(B/A) = P(B), afirmamos que B es independiente de A; es decir, que haya ocurrido A no ha modificado la probabilidad de B.

Teorema de la Probabilidad Total y Fórmula de Bayes

Sean los sucesos A₁…A_n una partición de Ω para los que se conocen sus probabilidades, P(A_i). Sea B un suceso cuya probabilidad bajo la condición determinada por cada suceso A_i, P(B/A_i), es conocida. En este contexto, la fórmula de la probabilidad total afirma que:

P(B) = ΣP(B/A_i)P(A_i)

Las probabilidades condicionadas de un suceso cualquiera B sobre cada uno de los elementos de la partición, P(B/A_k), son conocidas en muchas situaciones. No ocurre lo mismo con las probabilidades P(A_k/B). Para calcularlas a partir de las anteriores, lo hacemos a través de la fórmula de la probabilidad compuesta P(A_k∩B) = P(A_k)P(B/A_k). Según la fórmula de la probabilidad total, P(B) = ΣP(B/A_i)P(A_i). De ambas expresiones se sigue:

P(A_k/B) = P(A_k∩B) / P(B) = P(A_k)P(B/A_k) / ΣP(B/A_i)P(A_i)

Esta última expresión se denomina fórmula de Bayes.

Función de Distribución de una Variable Aleatoria y sus Propiedades

Se define la función de distribución de una variable aleatoria X como:

F(x) = P[X ≤ x] = P[ω∈Ω / X(ω) ≤ x]

Propiedades:

1. Si x_i < x_j → F(x_i) ≤ F(x_j)
2. F(-∞) = 0; F(∞) = 1
3. P[X > x] = 1 - F(x)
4. P[x_i < X ≤ x_j] = F(x_j) - F(x_i)

Distribución Binomial (n y p)

Sea la variable X la suma de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas según una distribución de probabilidad B(1, p). La variable aleatoria X puede tomar todos los valores enteros comprendidos entre 0 y n, ambos inclusive, y representa el número de éxitos que se obtienen en n pruebas o experimentos idénticos e independientes. A la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria se le llama distribución binomial de parámetros n y p. Cuando la distribución de probabilidad se escribe como una función de los valores que toma la variable aleatoria, P(x), se denomina función de probabilidad o función de cuantía. La función de probabilidad binomial es: (fórmula).

Es fácil comprobar que los valores P(x) verifican las dos condiciones que toda distribución de probabilidad debe cumplir:

1. P(x) ≥ 0
2. ΣP(x) = 1

Dado que p, 1, n y x no son negativos, P(x) tampoco lo será. La suma de todas las probabilidades se corresponden con el desarrollo del binomio: (p + q)ⁿ = 1ⁿ = 1. De aquí toma el nombre de distribución binomial.

Distribución de Poisson

Una variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson de parámetro λ, X ~ P(λ), si puede tomar todos los valores enteros no negativos con función de probabilidad o cuantía: (fórmula de Poisson).

Una de las aplicaciones más comunes de esta distribución es calcular la probabilidad de un cierto número de eventos en un determinado periodo de tiempo.

Media = E(X) = λ

Varianza = σ²(X) = λ