Probabilidad en Matemáticas: Regla de Laplace y Operaciones Fundamentales con Sucesos

Definición de Probabilidad según Laplace

Laplace estableció una nueva forma de calcular la probabilidad de un suceso sin necesidad de realizar el experimento:

La Regla de Laplace

Sea un experimento aleatorio, Ω el espacio muestral asociado y A un suceso de dicho espacio. Supongamos, además, que todos los sucesos elementales son equiprobables. Entonces, la probabilidad del suceso A viene dada por:

P(A) = (Casos favorables) / (Casos posibles)

Ventajas de la Definición de Laplace

Esta definición de probabilidad tiene la ventaja de que, al ser puramente teórica, no es necesario realizar el experimento.

Inconvenientes de la Definición de Laplace

Por otro lado, su principal inconveniente es que hemos de partir de una supuesta equiprobabilidad de los sucesos elementales, lo que constituye una circularidad en la definición misma.

Propiedades Fundamentales de la Probabilidad

• La probabilidad de cualquier suceso A está comprendida entre 0 y 1, ambos inclusive: P(A) ∈ [0, 1].
• La probabilidad del suceso seguro (el espacio muestral) es 1: P(Ω) = 1.
• La probabilidad del suceso imposible (vacío) es 0: P(∅) = 0.
• Si un suceso B está contenido en un suceso A (B ⊆ A), entonces la probabilidad de B es menor o igual que la probabilidad de A: P(B) ≤ P(A).
• La probabilidad del suceso complementario de A (A^c) es 1 menos la probabilidad de A: P(A^c) = 1 - P(A).
• La probabilidad de la unión de dos sucesos A y B es la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su intersección: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Probabilidad Empírica o Frecuencial

Cálculo y Concepto

Una vez confeccionado el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, así como construidos los sucesos de los que nos interesa averiguar su probabilidad, podemos calcularla empíricamente. Esto se logra realizando un número determinado de veces el experimento y observando cuántas veces se produce el suceso deseado. La probabilidad de dicho suceso vendrá dada por la proporción del número de resultados del suceso sobre el total de repeticiones.

Ley de los Grandes Números

Cuantas más veces realicemos el experimento, más exacto será el cálculo.

Ventajas y Desventajas de la Probabilidad Empírica

El inconveniente de este método es que, para un cálculo exacto de la probabilidad de cualquier suceso, tendríamos que repetir hasta el infinito el número de veces que se realiza el experimento. Por otro lado, su ventaja es la fiabilidad del proceso en la práctica.

Operaciones Fundamentales con Sucesos

Unión de Sucesos (A ∪ B)

Definición

Dados dos sucesos A y B, se define la unión de A y B (A ∪ B) como el suceso formado por todos los sucesos elementales que pertenecen a A o a B (o a ambos).

Propiedades de la Unión

• Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A
• Asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• Elemento Neutro: A ∪ ∅ = A
• Elemento Absorbente: A ∪ Ω = Ω
• Idempotencia (si A ⊆ B): Si A ⊆ B, entonces A ∪ B = B

Intersección de Sucesos (A ∩ B)

Definición

Dados dos sucesos A y B del espacio muestral, se define la intersección de A y B (A ∩ B) como el suceso formado por todos los sucesos elementales comunes a A y a B.

Propiedades de la Intersección

• Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A
• Asociativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• Elemento Absorbente: A ∩ ∅ = ∅
• Elemento Neutro: A ∩ Ω = A
• Idempotencia (si A ⊆ B): Si A ⊆ B, entonces A ∩ B = A

Complemento de un Suceso (A^c)

Definición

Dado un suceso A de un espacio muestral, se define el complemento de A (A^c) como el suceso formado por todos los sucesos elementales que no pertenecen a A. Se representa por A^c.