Probabilidades Actuariales y Modelos de Riesgo en Seguros

Conceptos Fundamentales de Probabilidad Actuarial

Supervivencia Conjunta

La supervivencia conjunta de dos individuos (denotados por npxy) indica la probabilidad de que ambos vivan al menos n años. Se calcula como el producto de sus probabilidades de supervivencia individuales si son independientes, o mediante funciones conjuntas si existe dependencia.

Fórmula general:

npxy = npx * npy (si son independientes)

pxyzt(Tablas, x=c(40,43), t=30, status="joint")

Disolución de la Pareja (Probabilidad de que al menos uno fallezca)

La disolución de la pareja (nqxy) representa la probabilidad de que al menos uno de los dos individuos fallezca antes de n años. Es el complemento de la supervivencia conjunta.

Fórmula:

nqxy = 1 - npxy

1 - super conj

qxyzt(Tabla, x=c(40,43), t=30, status="joint")

No Extinción (Al menos uno vive)

La probabilidad de no extinción (np|xy) se refiere a la probabilidad de que al menos uno de los dos individuos sobreviva n años. Se calcula sumando las probabilidades de supervivencia individuales y restando la probabilidad de supervivencia conjunta.

Fórmula:

np|xy = npx + npy - npxy

pxyzt(Tablas, x=c(40,43), t, status="last")

Disolución (Exactamente uno sobrevive)

La probabilidad de disolución (nP|xy (1)) indica la probabilidad de que exactamente uno de los asegurados sobreviva al menos n años. Esto implica que uno fallece y el otro sobrevive.

Fórmula:

nP|xy (1) = npx + npy - 2*npxy

npxyzt(tablas, x, t, status="joint")

Extinción (Ambos fallecen)

La probabilidad de extinción (nq|xy) es la probabilidad de que ambos individuos fallezcan antes de los próximos n años. Es el complemento de la no extinción.

Fórmula:

nq|xy = 1 - np|xy

1 - (npx + npy - npxy)

qxyzt(Tablas, x, t, status="Last")

Probabilidades Diferidas

Disolución Diferida

La probabilidad de disolución diferida (m qxy) calcula la probabilidad de que ambos individuos vivan m años, y luego, al menos uno de ellos fallezca en los siguientes n años.

Ejemplo: m = 28 años, n = 20 años.

mpxy = pxyzt(Tabla, x=c(40,47), t=28, status="joint")

mnpxy = pxyzt(Tabla, x, t=28+20, status="joint")

m qxy = mpxy - mnpxy

Extinción Diferida

La probabilidad de extinción diferida (m q|xy) se refiere a la probabilidad de que ambos individuos vivan m años, y luego, ambos fallezcan antes de los siguientes n años.

Cálculo para el primer individuo:

mnqx = pxt(Tabla3, x=40, t=28) * qxt(Tabla3, x=68, t=20)

Cálculo para el segundo individuo:

mnqy = pxt(Tabla4, x=47, t=28) * qxt(Tabla4, x=75, t=20)

Probabilidad de supervivencia conjunta a los m años:

mpxy = pxyzt(Tablas2, x=c(40,47), t=28)

Probabilidad de fallecimiento conjunto después de m años:

nqxmym = qxyzt(Tablas2, x=c(68,75), t=20)

Probabilidad de extinción diferida:

mnqxy = mpxy * nqxmym

Alternativamente: mnqx + mnqy - mnqxy

Anualidades y Rentas Vitalicias

Seguro Vitalicio Conjunto

El seguro vitalicio conjunto se basa en el tiempo de vida hasta que uno de los individuos fallezca (K(xy)). La variable Zxy = v^K(xy), donde v = 1/(1+i), representa el valor actual descontado.

El valor actual de una anualidad vitalicia conjunta se calcula como:

A = axyzn(Tablas, x=c(), i=, status="joint") * 200k

Último Sobreviviente

Para el caso del último sobreviviente, se considera el tiempo de vida hasta que el último de los dos individuos fallezca (K(|xy)). La variable Z|xy = V^K(|xy).

El valor actual se calcula de manera similar, pero especificando el estado como "last":

A|xy = ... (status="last") * 200k

Modelos de Riesgo

Riesgo Individual (Distribución Binomial)

En el modelo de riesgo individual, las reclamaciones Dj siguen una distribución binomial Bin(1, qj), donde qj es la probabilidad de reclamación para el individuo j. La suma de reclamaciones D = sumatoria Dj sigue una distribución binomial bn(n, p), donde n es el número de pólizas y p es la probabilidad de reclamación.

Ejemplo: D ~ bn(10, 0.05).

P(D >= 5) = 1 - P(D <= 4)

Para el monto agregado S (suma de indemnizaciones xj hasta n):

E(S) = n * E(xj)

V(S) = n * V(xj) (si las indemnizaciones son independientes y con la misma varianza)

Riesgo Compuesto (Distribución Binomial)

En un modelo compuesto binomial, el número de pólizas N sigue una distribución binomial bn(n=30, p=0.1), y la indemnización por póliza x sigue una distribución normal N(3500, 700^2).

El monto agregado S sigue una distribución normal con:

E(S) = n * p * E(x) = 30 * 0.1 * 3500

V(S) = n * p * (V(x) + E(x)^2 * (1-p)) (aproximación para el caso de riesgo compuesto)

V(S) = n * p * (V(x) + E(x)^2) - n * p^2 * E(x)^2 (fórmula más precisa)

U2 = E(x^2) = V(x) + E(x)^2 = 700^2 + 3500^2

Riesgo Colectivo (Distribución de Poisson Compuesta)

En el modelo de riesgo colectivo, el número de siniestros N sigue una distribución de Poisson Pois(λ). La severidad de cada siniestro xj tiene una función de densidad fx.

El monto agregado S sigue una distribución de Poisson Compuesta PoisComp(λ, fx) con:

E(S) = λ * E(xj)

V(S) = λ * E(x^2j)

Ejemplo: N ~ Pois(4), X ~ N(4200, 64000).

E(S) = 4 * 4200

V(S) = 4 * (64000 + 4200^2)

Se puede calcular la probabilidad P(S < 15000) utilizando aproximaciones o métodos numéricos.