Probabilidades y estadísticas: cálculo de eventos y intervalo de confianza al 97%
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Problema 4. Probabilidades (periódico y café)
En una sala hay 20 personas. 14 de ellas leen el periódico, 10 toman café y 8 hacen ambas cosas. Seleccionamos al azar una de estas personas. Calcular las siguientes probabilidades.
- a) Tome el café y no lea el periódico.
- b) Lea el periódico pero no tome café.
- c) Tome café, sabiendo que lee el periódico.
Datos y probabilidades básicas
- Población total: 20 personas.
- Lectores (L): 14 → P(L) = 14/20 = 0.70.
- Tomadores de café (C): 10 → P(C) = 10/20 = 0.50.
- Ambos (L ∩ C): 8 → P(L ∩ C) = 8/20 = 0.40.
Resolución
a) P(toma café y no lee el periódico)
Esta probabilidad es P(C ∩ Lc) = P(C) − P(C ∩ L).
Aplicando los valores: P(C ∩ Lc) = 0.50 − 0.40 = 0.10.
b) P(lee el periódico pero no toma café)
Esta probabilidad es P(L ∩ Cc) = P(L) − P(L ∩ C).
Aplicando los valores: P(L ∩ Cc) = 0.70 − 0.40 = 0.30.
c) P(toma café | lee el periódico)
La probabilidad condicionada se calcula como:
P(C | L) = P(C ∩ L) / P(L) = 0.40 / 0.70 ≈ 0.5714.
Redondeando a dos decimales: P(C | L) ≈ 0.57.
Problema 5. Distribución normal: intervalo de confianza y tamaño de muestra
En una población una variable aleatoria X sigue una ley normal de media desconocida y desviación típica 2. Observada una muestra de tamaño 400, se ha obtenido una media muestral de 50.
- a) Calcular el intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de confianza del 97%.
- b) Con el mismo nivel de confianza, ¿cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido no supere 0.5?
Datos
- Desviación típica poblacional: σ = 2.
- Media muestral: x̄ = 50.
- Tamaño de la muestra: n = 400.
- Nivel de confianza: 97% → α = 1 − 0.97 = 0.03.
a) Intervalo de confianza (97%)
Calculamos α/2 = 0.03 / 2 = 0.015. Buscamos zα/2 tal que P(Z < zα/2) = 0.985. Aproximadamente:
zα/2 ≈ 2.17 (valor tabulado).
Error estándar: SE = σ / √n = 2 / √400 = 2 / 20 = 0.10.
Margen de error: ME = zα/2 · SE = 2.17 · 0.10 = 0.217.
Intervalo de confianza al 97%:
(x̄ − ME, x̄ + ME) = (50 − 0.217, 50 + 0.217) = (49.783, 50.217).
b) Tamaño mínimo de la muestra para error ≤ 0.5
Usamos la fórmula para el tamaño de muestra cuando σ es conocida:
n = (zα/2 · σ / E)2, donde E es el error máximo permitido (0.5).
Sustituimos: zα/2 ≈ 2.17, σ = 2, E = 0.5.
cálculo: 2.17 · 2 = 4.34; 4.34 / 0.5 = 8.68; (8.68)2 = 75.3824.
Como el tamaño de muestra debe ser entero y suficiente para garantizar el error pedido, redondeamos hacia arriba:
n = 76 (tamaño mínimo de la muestra).
Resultados finales
- Problema 4:
- a) P(toma café y no lee periódico) = 0.10
- b) P(lee periódico y no toma café) = 0.30
- c) P(toma café | lee periódico) ≈ 0.5714 (≈ 0.57)
- Problema 5:
- a) Intervalo de confianza al 97% = (49.783, 50.217)
- b) Tamaño mínimo de la muestra para E ≤ 0.5 = 76
Notas: Se han usado aproximaciones estándar para zα/2 (2.17 para α/2 = 0.015). Para mayor precisión se puede usar una tabla z más detallada o cálculo con software estadístico.