Problemas de Optimización: Cálculo Diferencial Aplicado

Problemas de Optimización de Funciones

1. Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.
2. Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm gira alrededor de su altura, engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
3. Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
4. Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
5. Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.
6. Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.
7. Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular, sabiendo que su volumen ha de ser 9 m³, su altura 1 m y el coste de su construcción por m² es de 50 € para la base, 60 € para la tapa y 40 € para cada pared lateral.
8. Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que el volumen de dicha caja sea máximo.
9. Una hoja de papel debe tener 18 cm² de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.
10. El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función:

    B(x) = 1.2x - (0.1x)³

    donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.
    1. Calcula la producción mensual que maximiza el beneficio.
    2. El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
11. Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:
    1. La producción actual de la huerta.
    2. La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.
    3. La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.
    4. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima?
12. Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular el radio y la amplitud del sector de mayor área.
13. El valor de un rubí es proporcional al cuadrado de su peso. Divide un rubí de 2 g en dos partes de forma que la suma de los valores de los dos rubíes formados sea mínima.
14. Encontrar, de entre todas las rectas que pasan por el punto (1, 2), aquella que forma con las partes positivas de los ejes de coordenadas un triángulo de área mínima.
15. Una boya, formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases, ha de construirse mediante dos placas circulares de 3 m de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo.