Problemas Resueltos de Campo y Fuerza Eléctrica

En cierto punto del espacio, una carga de +6 mC experimenta una fuerza de 2.0 mN en la dirección +x.

a) ¿Cuál era el campo eléctrico en ese punto antes de que la carga se colocara allí?

b) Describa la fuerza que experimentaría una carga de –2 mC si se usara en lugar de la carga de +6.0 mC.

Solución:

a) El campo eléctrico (E) se define como la fuerza (F) por unidad de carga (q): E = F / q.

E = (2.0 x 10⁻³ N) / (6.0 x 10⁻⁶ C) = 333.333 N/C

333.333 N/C / 1000 = 0.333 kN/C

La dirección del campo es la misma que la de la fuerza para una carga positiva, es decir, en la dirección +x.

Respuesta a): 0.333 kN/C en la dirección +x.

b) La fuerza (F') que experimentaría una carga q' = -2 mC en el mismo campo E es F' = q' * E.

F' = (-2.0 x 10⁻⁶ C) * (333.333 N/C) = -6.6666 x 10⁻⁴ N

F' = -0.667 mN

El signo negativo indica que la fuerza está en la dirección opuesta al campo eléctrico. Como el campo está en la dirección +x, la fuerza sobre la carga negativa está en la dirección -x.

Respuesta b): Una carga de –2 mC experimentaría una fuerza de 0.667 mN en la dirección -x.

Cálculos originales (formato corregido):

b) F = (0.335 kN/C) * (6x10⁻⁶ C)

F = 6.66 x 10⁻³ N = 0.67 mN en la dirección X

Una carga puntual de -3.0 x 10⁻⁵ C se coloca en el origen de coordenadas. Encuentre el campo eléctrico en el punto x = 5.0 m sobre el eje X.

R: 11 kN/C en la dirección -X

Solución:

El campo eléctrico (E) debido a una carga puntual (q) a una distancia (r) es E = k * |q| / r², donde k = 9x10⁹ N⋅m²/C².

E = (9x10⁹ N⋅m²/C²) * (3x10⁻⁵ C) / (5.0 m)²

E = (270000 N⋅m²/C) / (25.0 m²) = 10800 N/C

10800 N/C / 1000 = 10.8 kN/C ≈ 11 kN/C

Dado que la carga es negativa y el punto está sobre el eje X positivo, el campo eléctrico apunta hacia la carga, es decir, en la dirección -X.

Cuatro cargas de igual magnitud (4.0 mC) se colocan en las cuatro esquinas de un cuadrado de 20 cm de lado. Determine el campo eléctrico en el centro del cuadrado.

a) Si todas las cargas son positivas.

b) Si los signos de las cargas se alteran alrededor del perímetro del cuadrado (+, -, +, -).

c) Si las cargas tienen la siguiente secuencia alrededor del cuadrado: +, +, -, -.

R: a) 0; b) 0; c) 5.1 mN/C hacia el lado negativo.

Solución:

La distancia desde cada esquina al centro del cuadrado es r = (lado/2) * √2 = (0.20 m / 2) * √2 = 0.10 m * 1.414 ≈ 0.1414 m.

La magnitud del campo eléctrico en el centro debido a una sola carga de 4.0 mC es:

E_individual = k * |q| / r²

E_individual = (9x10⁹ N⋅m²/C²) * (4.0 x 10⁻⁶ C) / (0.1414 m)²

E_individual = (36000 N⋅m²/C) / (0.01999 m²) ≈ 1800900 N/C

E_individual ≈ 1.81 x 10⁶ N/C = 1.81 MN/C

a) Si todas las cargas son positivas, los campos eléctricos de las cargas opuestas se cancelan vectorialmente en el centro. El campo total es 0.

b) Si los signos se alternan (+, -, +, -), los campos eléctricos de las cargas opuestas también se cancelan vectorialmente en el centro. El campo total es 0.

c) Si las cargas tienen la secuencia +, +, -, -, la superposición vectorial de los campos no resulta en cero. La dirección del campo resultante depende de la disposición específica de las cargas. El resultado proporcionado (5.1 mN/C hacia el lado negativo) sugiere una configuración donde los campos se suman parcialmente.

Cálculos originales (formato corregido):

E = (9x10⁹ N⋅m²/C²) * (4x10⁻⁶ C) / (0.1414 m)²

E = 36000 / 0.01999 ≈ 1800900 N/C

E ≈ 1.81 MN/C

Ex = 0

Ey = 0

E_componente = (1.8 mN/C) * sen(45°) ≈ 1.2727 mN/C

1.2727 N = 5.09 mN/C

Una bola de 0.200 gramos cuelga de un hilo en un campo eléctrico vertical uniforme de 3.00 kN/C dirigido hacia arriba. ¿Cuál es la carga sobre la bola si la tensión en el hilo es a) 0? b) 4.00 mN?

Solución:

La masa de la bola es m = 0.200 g = 0.200 x 10⁻³ kg.

La fuerza de gravedad sobre la bola es Fg = m * g = (0.200 x 10⁻³ kg) * (9.81 m/s²) = 1.962 x 10⁻³ N = 1.962 mN.

El campo eléctrico es E = 3.00 kN/C = 3000 N/C (dirigido hacia arriba).

Las fuerzas que actúan sobre la bola son la tensión (T) hacia arriba, la fuerza eléctrica (Fe) (dirección depende del signo de la carga) y la fuerza de gravedad (Fg) hacia abajo.

La condición de equilibrio es ∑Fy = 0, es decir, T + Fe - Fg = 0 (si Fe es hacia arriba) o T - Fe - Fg = 0 (si Fe es hacia abajo).

a) Tensión T = 0.

Si la tensión es cero, la fuerza eléctrica debe equilibrar la gravedad. Como el campo es hacia arriba y la gravedad hacia abajo, la fuerza eléctrica debe ser hacia arriba. Esto implica que la carga (Q) debe ser positiva (Fe = Q * E, si Q>0, Fe tiene la dirección de E).

Fe - Fg = 0 => Fe = Fg

Q * E = Fg

Q = Fg / E = (1.962 x 10⁻³ N) / (3000 N/C) = 6.54 x 10⁻⁷ C

Q = 654 nC

b) Tensión T = 4.00 mN = 4.00 x 10⁻³ N.

La tensión es hacia arriba. La gravedad es hacia abajo. El campo eléctrico es hacia arriba. Si la carga fuera positiva, Fe sería hacia arriba, y tendríamos T + Fe - Fg = 0. T = Fg - Fe. Si T = 4 mN y Fg = 1.962 mN, esto implicaría Fe = 1.962 - 4 = -2.038 mN, lo cual no es posible para una Fe hacia arriba. Por lo tanto, la fuerza eléctrica debe ser hacia abajo, lo que implica que la carga es negativa.

T - Fe - Fg = 0 (si Fe es hacia abajo) => T - |Q|*E - Fg = 0

O usando Fe como vector (positivo hacia arriba): T + Fe - Fg = 0 => Fe = Fg - T

Fe = (1.962 x 10⁻³ N) - (4.00 x 10⁻³ N) = -2.038 x 10⁻³ N

El signo negativo indica que Fe es hacia abajo. Ahora calculamos la carga Q = Fe / E.

Q = (-2.038 x 10⁻³ N) / (3000 N/C) = -6.7933 x 10⁻⁷ C

Q = -679.33 nC

Cálculos originales (formato corregido):

a) Fy = (0.0002 kg) * (9.81 m/s²) = 1.962 x 10⁻³ N

Fg = 1.962 x 10⁻³ N

Q = (1.962 x 10⁻³ N) / (3000 N/C) = 6.54 x 10⁻⁷ C = 654 nC

b) Fe = -2.038 x 10⁻³ N

Q = (-2.038 x 10⁻³ N) / (3000 N/C) = -6.7933 x 10⁻⁷ C = -679.33 nC

Determine la aceleración de un protón (Q = +e, m = 1.67x10⁻²⁷ kg) en un campo eléctrico de 0.50 kN/C de intensidad. ¿Cuántas veces es más grande esta aceleración que la debida a la gravedad?

R: 4.8x10¹⁰ m/s²; 4.9x10⁹

Solución:

La carga del protón es q = +e = +1.602 x 10⁻¹⁹ C.

La masa del protón es m = 1.67 x 10⁻²⁷ kg.

El campo eléctrico es E = 0.50 kN/C = 500 N/C.

La fuerza eléctrica sobre el protón es F = q * E.

Según la segunda ley de Newton, F = m * a, por lo tanto, a = F / m = (q * E) / m.

a = (1.602 x 10⁻¹⁹ C) * (500 N/C) / (1.67 x 10⁻²⁷ kg)

a = (8.01 x 10⁻¹⁷ N) / (1.67 x 10⁻²⁷ kg)

a ≈ 4.80 x 10¹⁰ m/s²

La aceleración debida a la gravedad es g ≈ 9.81 m/s².

La relación entre la aceleración eléctrica y la aceleración gravitatoria es:

Ratio = a / g = (4.80 x 10¹⁰ m/s²) / (9.81 m/s²) ≈ 4.89 x 10⁹

Respuesta: La aceleración es aproximadamente 4.80 x 10¹⁰ m/s². Es aproximadamente 4.89 x 10⁹ veces más grande que la aceleración debida a la gravedad.

Cálculos originales (formato corregido):

A = (0.50 kN/C) * (1.6x10⁻¹⁹ C) / (1.67x10⁻²⁷ kg)

A = (500 N/C) * (1.6x10⁻¹⁹ C) / (1.67x10⁻²⁷ kg)

= (8 x 10⁻¹⁷ N) / (1.67 x 10⁻²⁷ kg)

A ≈ 4.79 x 10¹⁰ m/s²

Ratio = (4.79 x 10¹⁰ m/s²) / (9.81 m/s²) ≈ 4.88 x 10⁹

Una pequeña bola de 0.60 gramos tiene una carga de 8 mC de magnitud. Está suspendida por un hilo vertical en un campo eléctrico descendente de 300 N/C. ¿Cuál es la tensión en el hilo si la carga de la bola es a) positiva? b) negativa?

Solución:

La masa de la bola es m = 0.60 g = 0.60 x 10⁻³ kg.

La fuerza de gravedad sobre la bola es Fg = m * g = (0.60 x 10⁻³ kg) * (9.81 m/s²) = 5.886 x 10⁻³ N = 5.886 mN.

El campo eléctrico es E = 300 N/C (dirigido hacia abajo).

La magnitud de la fuerza eléctrica es Fe = |q| * E = (8 x 10⁻⁶ C) * (300 N/C) = 2.4 x 10⁻³ N = 2.4 mN.

Las fuerzas que actúan sobre la bola son la tensión (T) hacia arriba, la fuerza eléctrica (Fe) (dirección depende del signo de la carga) y la fuerza de gravedad (Fg) hacia abajo.

La condición de equilibrio es ∑Fy = 0.

a) Carga positiva (+8 μC).

Si la carga es positiva y el campo es hacia abajo, la fuerza eléctrica (Fe) es hacia abajo.

∑Fy = T - Fe - Fg = 0

T = Fe + Fg

T = (2.4 x 10⁻³ N) + (5.886 x 10⁻³ N) = 8.286 x 10⁻³ N

T ≈ 8.3 mN

b) Carga negativa (-8 μC).

Si la carga es negativa y el campo es hacia abajo, la fuerza eléctrica (Fe) es hacia arriba.

∑Fy = T + Fe - Fg = 0

T = Fg - Fe

T = (5.886 x 10⁻³ N) - (2.4 x 10⁻³ N) = 3.486 x 10⁻³ N

T ≈ 3.5 mN

Cálculos originales (formato corregido):

a) T = -f - w = 0

T = f + w

T = (2.4 x 10⁻³ N) + (5.886 x 10⁻³ N)

T = 8.3 mN

b) T + f - w = 0

T = -f + w

T = (5.886 x 10⁻³ N) - (2.4 x 10⁻³ N)

T = 3.486 x 10⁻³ N = 3.5 mN