Problemas resueltos de ecuaciones lineales: edades y monedas explicadas paso a paso

Problema 1

Enunciado: Teresa tiene 3 años y su hermana 12. ¿Al cabo de cuántos años la edad de su hermana será el doble que la de Teresa?

Solución

Sea x el número de años que han de pasar.

Planteamos la ecuación:

12 + x = 2(3 + x)

Desarrollando:

12 + x = 6 + 2x

Paso las incógnitas y constantes:

12 - 6 = 2x - x

6 = x

Respuesta: Dentro de 6 años la hermana tendrá el doble de la edad de Teresa.

Problema 2

Enunciado: Las edades de Luisa y María suman 20 años. Dentro de 15 años la edad de María será dos tercios de la de Luisa. ¿Cuáles son sus edades?

Solución

Sea X la edad de Luisa y Y la edad de María.

Planteamos el sistema:

• X + Y = 20
• Y + 15 = (2/3)(X + 15)

Despejamos Y de la primera ecuación: Y = 20 - X.

Sustituimos en la segunda:

20 - X + 15 = (2/3)(X + 15)

35 - X = (2/3)(X + 15)

Multiplicamos por 3 para eliminar fracciones:

3(35 - X) = 2(X + 15)

105 - 3X = 2X + 30

105 - 30 = 2X + 3X

75 = 5X ⇒ X = 15

Entonces Y = 20 - 15 = 5.

Respuesta: Luisa tiene 15 años y María 5 años.

Observación

Nota: En el texto original aparecía la cadena "y=} dsfg" que parece ser un error o texto incompleto; se ha indicado como nota y no afecta a la resolución.

Problema 3

Enunciado: La edad de Teo hace 2 años era igual a la de Sara dentro de 3 años. Dentro de 2 años Sara tendrá la mitad de años que Teo. ¿Qué edades tienen ahora?

Solución

Sea X la edad actual de Teo y Y la de Sara.

Condición 1 (hace 2 años Teo = Sara dentro de 3 años):

X - 2 = Y + 3 ⇒ X = Y + 5

Condición 2 (dentro de 2 años Sara será la mitad de Teo dentro de 2 años):

Y + 2 = (1/2)(X + 2)

Sustituimos X = Y + 5 en la segunda:

Y + 2 = (1/2)((Y + 5) + 2) = (1/2)(Y + 7)

Multiplicando por 2:

2Y + 4 = Y + 7 ⇒ Y = 3

Entonces X = Y + 5 = 8.

Respuesta: Sara tiene 3 años y Teo 8 años.

Problema 4

Enunciado: Cambiamos varias monedas de 1 céntimo por monedas de 5 céntimos, obteniendo 72 monedas menos. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?

Interpretación y solución

Sea x el número de monedas de 1 céntimo y y el número de monedas de 5 céntimos inicialmente.

Al cambiar todas las monedas de 1 céntimo por monedas de 5 céntimos, cada grupo de 5 monedas de 1 céntimo pasa a ser 1 moneda de 5 céntimos. Por tanto, el número final de monedas será y + x/5 (suponiendo que x es múltiplo de 5).

Se nos dice que el número de monedas disminuye en 72:

(x + y) - (y + x/5) = 72

Esto simplifica a:

x - x/5 = 72 ⇒ (4/5)x = 72

De aquí:

x = 72 · (5/4) = 90

Si además se plantea (como en el texto original) que x = y + 72 (es decir, hay 72 monedas más de 1 céntimo que de 5 céntimos), entonces

y = x - 72 = 90 - 72 = 18

Respuesta: Hay 90 monedas de 1 céntimo y 18 monedas de 5 céntimos.

Problema 5

Enunciado: Halla las edades de dos personas si hace 10 años la primera tenía el doble de la edad de la segunda y dentro de 15 años la edad de la segunda será tres cuartos de la de la primera.

Solución

Sea X la edad actual de la primera persona y Y la de la segunda.

Condición 1 (hace 10 años):

X - 10 = 2(Y - 10) ⇒ X - 10 = 2Y - 20 ⇒ X = 2Y - 10

Condición 2 (dentro de 15 años):

Y + 15 = (3/4)(X + 15)

Sustituimos X = 2Y - 10:

Y + 15 = (3/4)((2Y - 10) + 15) = (3/4)(2Y + 5)

Multiplicando por 4:

4Y + 60 = 3(2Y + 5) = 6Y + 15

60 - 15 = 6Y - 4Y ⇒ 45 = 2Y ⇒ Y = 45/2 = 22.5

Entonces:

X = 2Y - 10 = 2·(45/2) - 10 = 45 - 10 = 35

Respuesta: La primera persona tiene 35 años y la segunda 22,5 años (es decir, 22 años y 6 meses).

Conclusión

Se han corregido la ortografía, la puntuación y la presentación algebraica de los ejercicios. Las soluciones finales están resaltadas en negrita para facilitar su localización.