Problemas Resueltos de Física: Gravitación, Campos y Energía
Clasificado en Física
Escrito el en 
español con un tamaño de 9,04 KB
Problemas de Física: Gravitación, Campos y Energía
1. Campo Gravitatorio y Planeta Hipotético
Este apartado explora cómo el campo gravitatorio se ve afectado por cambios en el radio de un planeta y la distancia a su superficie.
a) Variación del Campo Gravitatorio con el Radio
Si de alguna manera el radio de un planeta se reduce a la mitad (Rt/2), manteniendo su masa (M) constante, calculamos el nuevo valor del campo gravitatorio g' en función del conocido g.
La fórmula del campo gravitatorio es: g = G M / Rt2
Para el planeta hipotético con radio Rt/2:
g' = G M / (Rt/2)2 = G M / (Rt2/4) = 4 G M / Rt2 = 4g
El valor del campo gravitatorio será cuatro veces mayor que el actual sobre el planeta hipotético.
a2) Campo a una Distancia Específica
Ahora calculamos el valor del campo gravitatorio a una distancia de la superficie (h, altura) igual al radio inicial (Rt). Es decir, una distancia al centro del planeta igual al radio reducido de la Tierra (Rt/2) más el radio inicial (Rt).
Distancia al centro (r): r = Rt/2 + h = Rt/2 + Rt = 3Rt/2
Aplicando la fórmula del campo gravitatorio:
g' = G M / (3Rt/2)2 = G M / (9Rt2/4) = 4/9 G M / Rt2 = 4/9g
El valor del campo gravitatorio será 4/9 del actual sobre el planeta hipotético.
2. Demostración de la Tercera Ley de Kepler
Utilice dicho teorema para demostrar la tercera ley de Kepler para una órbita circular a partir de la ley de gravitación de Newton.
Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria (FG) proporciona la fuerza centrípeta (Fc).
FG = G · M m / R2
Fc = m ω2 R = m (2π/T)2 R = m 4π2 R / T2
Igualando ambas fuerzas (FG = Fc):
G · M m / R2 = m 4π2 R / T2
Simplificando y reordenando para obtener la Tercera Ley de Kepler (T2/R3 = constante):
G M / R2 = 4π2 R / T2
G M T2 = 4π2 R3
T2 / R3 = 4π2 / (G M)
Esta relación demuestra que el cociente entre el cuadrado del periodo orbital (T) y el cubo del radio de la órbita (R) es una constante para todos los objetos que orbitan alrededor de una masa central (M).
3. Satélite Artificial: Velocidad y Energía
Un satélite artificial de 200 kg orbita alrededor de un planeta. Se calculan su velocidad orbital y su energía mecánica.
a) Velocidad del Satélite
Por la ley de gravitación universal, sabemos que la fuerza gravitatoria es:
FG = -G MT m / r2
De la definición de campo gravitatorio (g = FG/m):
g = -G MT / r2
Así, el campo gravitatorio a una altura h (gh) y en la superficie (g0) son:
gh = -G MT / (RT + h)2
g0 = -G MT / RT2
Dado que g0 = 2gh (asumiendo que esta es una condición del problema, aunque no está explícitamente indicada como tal, se deduce de la siguiente línea):
RT + h / RT = √2
Por otra parte, al igualar las fuerzas gravitatoria y centrípeta para una órbita circular:
Fc = -m v2 / (RT + h)
FG = -G MT m / (RT + h)2
Igualando Fc = FG:
-m v2 / (RT + h) = -G MT m / (RT + h)2
Simplificando para v2:
v2 = G MT / (RT + h)
Podemos expresar G MT en términos de g0 y RT (ya que g0 = G MT / RT2 → G MT = g0 RT2):
v2 = g0 RT2 / (RT + h)
Sustituyendo (RT + h) = √2 RT (de la relación g0 = 2gh):
v2 = g0 RT2 / (√2 RT) = g0 RT / √2
De donde, calculando el valor numérico (asumiendo g0 ≈ 9.8 m/s2 y RT ≈ 6.37 x 106 m):
v = √(g0 RT / √2) ≈ 6.6 x 103 m/s
b) Energía Mecánica
La energía mecánica (Em) de un satélite en órbita circular se puede calcular mediante la fórmula:
Em = -1/2 G M m / r
Donde r es la distancia al centro del planeta (RT + h). Usando r = √2 RT ≈ 1.414 * 6.37 * 10^6 m ≈ 9.008 * 10^6 m.
Sustituyendo los valores (G = 6.67·10-11 N·m2/kg2, M = 5.98·1024 kg, m = 200 kg, r = 9008540.392 m):
Em = -1/2 · 6.67·10-11 · 5.98·1024 · 200 / 9008540.392
Em ≈ -4.3 · 109 J
4. Interacción en un Campo Eléctrico
Se crea un campo eléctrico uniforme. Se calcula la aceleración y la velocidad final de una partícula cargada.
a) Aceleración de la Partícula
Aplicando la segunda ley de Newton en un campo eléctrico (F = qE = ma):
q · E = m · a
Despejando la aceleración (a):
a = q · E / m
Sustituyendo los valores (asumiendo q = 1.6·10-19 C, E = 6·104 N/C, m = 9.1·10-31 kg):
a = (1.6·10-19 C) · (6·104 N/C) / (9.1·10-31 kg)
a ≈ 1.05 · 1016 m/s2
b) Velocidad Final
Utilizando las fórmulas de MRUA (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado), con velocidad inicial (v0) = 0 y posición inicial (x0) = 0:
x = x0 + v0t + 1/2 a t2 → x = 1/2 a t2
v = v0 + a t → v = a t
De la primera ecuación, t2 = 2x/a. De la segunda, t = v/a. Sustituyendo t en la primera:
x = 1/2 a (v/a)2 = 1/2 a (v2/a2) = v2 / (2a)
Despejando la velocidad final (v):
v2 = 2ax → v = √(2ax)
Sustituyendo los valores (a = 1.05·1016 m/s2, x = 0.025 m):
v = √(2 · 1.05·1016 m/s2 · 0.025 m)
v ≈ 2.3 · 107 m/s
5. Nave Espacial: Fuerzas y Conservación de la Energía
Se lanza una nave de masa m entre dos cuerpos celestes. Se analizan las fuerzas gravitatorias y el principio de conservación de la energía.
a) Fuerzas Gravitatorias
Consideramos dos cuerpos celestes (1 y 2) y un punto P (donde se encuentra la nave). Calculamos las fuerzas gravitatorias que ejercen sobre P.
Fuerza que ejerce el cuerpo 1 sobre P (FP1), a una distancia x:
FP1 = G · M1 · m / x2 = G · 4·1024 · 5·103 / x2
Fuerza que ejerce el cuerpo 2 sobre P (FP2), a una distancia (4.83·1010 - x):
FP2 = G · M2 · m / (4.83·1010 - x)2 = G · 8·1024 · 5·103 / (4.83·1010 - x)2
Para encontrar un punto de equilibrio (donde las fuerzas se anulan), se igualan las magnitudes de las fuerzas:
G · 4·1024 · 5·103 / x2 = G · 8·1024 · 5·103 / (4.83·1010 - x)2
Simplificando:
4·1024 / x2 = 8·1024 / (4.83·1010 - x)2
1 / x2 = 2 / (4.83·1010 - x)2
b) Conservación de la Energía
Se aplica el principio de conservación de la energía entre dos puntos (A y B) en el sistema:
Etotal,A = Etotal,B
La energía total en cada punto es la suma de la energía potencial gravitatoria de cada interacción (Epg) y la energía cinética (Ec).
EpgA1 + EpgA2 + EcA = EpgB1 + EpgB2 + EcB
Donde Epg = -G M m / r.