Problemas Resueltos de Máquinas Eléctricas: Motores y Generadores

Motor de Corriente Continua (Serie)

Un motor serie con tensión nominal de 125V, al absorber 25A, proporciona un par de 30 Nm. En el arranque, el par es de 80 Nm. La constante de proporcionalidad es 10^-4 W/rpm².

Cálculo de la Corriente de Arranque y Resistencia del Motor

• k_t = T/I_a = 30 Nm / 25 A = 1.2 Nm/A
• I_arr = T_arr / k_t = 80 Nm / 1.2 Nm/A = 66.667 A
• E (en arranque) = 0 V
• R_a = V / I_arr = 125 V / 66.667 A = 1.875 Ω

Cálculo de la FEM y Potencia Mecánica (30 Nm y 25 A)

• E = V - R_a · I_a = 125 V - 1.875 Ω · 25 A = 78.125 V
• ω = E / k_t = 78.125 V / 1.2 Nm/A = 65.104 rad/s
• n = ω · 60 / 2π = 65.104 rad/s · 60 / 2π = 621.699 rpm
• P_m = T · ω = 30 Nm · 65.104 rad/s = 1953 W

Cálculo del Par Útil

• P_roz = k · n² = 10^-4 W/rpm² · (621.699 rpm)² = 38.651 W
• P_u = P_m - P_roz = 1953 W - 38.651 W = 1914.349 W
• T_u = P_u / ω = 1914.349 W / 65.104 rad/s = 29.406 Nm

Cálculos sin Saturación (Velocidad 1.5 veces mayor)

• ω' = 1.5 · ω = 1.5 · 65.104 rad/s = 97.656 rad/s
• n' = ω' · 60 / 2π = 97.656 rad/s · 60 / 2π = 932.548 rpm
• E' = k_t · ω' = 1.2 Nm/A · 97.656 rad/s = 117.188 V
• I_a'= (V - E') / R_a = (125 V - 117.188 V) / 1.875 Ω = 4.167 A
• T_m' = k_t · I_a' = 1.2 Nm/A · 4.167 A = 5 Nm
• P_m' = T_m' · ω' = 5 Nm · 97.656 rad/s = 488.28 W

Potencia y Par Útiles del Motor (Nueva Velocidad)

• P_roz'= k · n'² = 10^-4 W/rpm² · (932.548 rpm)² = 86.965 W
• P_u' = P_m' - P_roz' = 488.28 W - 86.965 W = 401.315 W
• T_u' = P_u' / ω' = 401.315 W / 97.656 rad/s = 4.109 Nm

Motor de Corriente Continua con Excitación Independiente

Motor de 5 kW, 200 V que gira a 1650 rpm en vacío, consumiendo 0.4 A. El devanado inducido tiene una resistencia de 0.9 Ω. Se analiza la curva para una velocidad de 1500 rpm.

Cálculos

• E_o = V_a - R_a · I_ao = 200 V - 0.9 Ω · 0.4 A = 199.64 V
• K_e = E_o / n_o = 199.64 V / (1650 rpm · 2π/60) = 1.155 Vs/rad
• n₁ = 1500 rpm
• E₁ = K_e · ω₁ = 1.155 Vs/rad · (1500 rpm · 2π/60) = 181.584 V
• I_a1 = (V_a - E₁) / R_a = (200 V - 181.584 V) / 0.9 Ω = 20.462 A

Motor de Corriente Continua con Imanes Permanentes

Motor de 12 V con resistencia de bobinado de 0.19 Ω e inductancia despreciable. A una velocidad de 1820 rpm, la corriente absorbida es de 568 mA.

Cálculo de Velocidad, Corriente, Potencia y Rendimiento (Par de 551 mN·m)

• V_a = E_o + R_a · I_ao
• E_o = 12 V - 0.19 Ω · 0.568 A = 11.892 V
• k_t = E_o / ω_o = 11.892 V / (1820 rpm · 2π/60)= 0.0624 Vs/rad
• I_a1 = T₁ / k_t = 0.551 Nm / 0.0624 Vs/rad = 8.83 A
• E₁ = V_a - R_a · I_a1 = 12 V - 0.19 Ω · 8.83 A = 10.32 V
• ω₁ = E₁ / k_t = 10.32 V / 0.0624 Vs/rad = 165.38 rad/s
• n₁ = ω₁ * 60 / (2*π) = 1579.32 rpm
• P_util1 = T₁ · ω₁ = 0.551 Nm · 165.38 rad/s = 91.12 W
• η = P_util / P_abs = P_util / (V · I) = 91.12 W / (12 V · 8.83 A) = 0.860
• η = 86.0%

Generador Síncrono

Generador síncrono de 400 V, 50 Hz, cuatro polos, conectado en triángulo. Reactancia síncrona por fase (X_s) = 1.2 Ω y resistencia del inducido (R_a) = 0.09 Ω. A plena carga, suministra 290 A con un factor de potencia (f.d.p.) de 0.8 en atraso. Pérdidas por rozamiento con el aire = 1.5 kW y pérdidas en el núcleo = 1 kW.

a) Tensión en Bornes del Generador a Plena Carga

Se utiliza el diagrama fasorial para resolver este problema. Se asume que la tensión de fase es de 420V (ligeramente superior a 400V por ser en triángulo).

• arccos(0.8) = 36.87° (ángulo del f.d.p.)
• E∠δ = V∠0° + R_a · I∠-36.87° + jX_s · I∠-36.87°
• E∠δ = V∠0° + 0.09 Ω · 290 A ∠-36.87° + j1.2 Ω · 290 A ∠-36.87°

Resolviendo las ecuaciones (separando en componentes real e imaginaria):

• Eje x: 420·cos(δ) = V + 0.09 · 290 · cos(36.87) + 1.2 · 290 · cos(90 - 36.87)
• Eje y: 420·sin(δ) = 0 + 0.09 · 290 · sin(-36.87) + 1.2 · 290 · sin(90 - 36.87)
• sin(δ) = 0.468
• δ = arcsin(0.468) = 27.91°
• V = 559.74 V (Tensión de fase)
• V_L = V * √3 = 969.37 V (Tensión de Línea)

b) Potencia Suministrada por el Generador y Rendimiento

• P_out = √3 · U_L · I_L · cos(φ) = √3 · 400 V · 290 A · 0.8 = 160.55 kW
• P_in = P_out + P_pérdidas = P_out + P_roz + P_Fe + P_Cu
• P_Cu = 3 · R_a · I_f² = 3 · 0.09 Ω · (290/√3 A)² = 7.569 kW
• P_in = 160.55 kW + 1.5 kW + 1 kW + 7.569 kW = 170.619 kW
• η = P_out / P_in = 160.55 kW / 170.619 kW = 0.941 = 94.1%

c) Tensión en Bornes con f.d.p. 0.8 en Adelanto

El procedimiento es similar al apartado (a), pero cambiando el ángulo del f.d.p. a +36.87°.

Motor de Inducción Trifásico

Motor de inducción trifásico de 4 polos, conectado en triángulo a 400 V. Deslizamiento nominal (S) = 1.5%. R₁ = 0.095 Ω, R₂' = 0.0026 Ω, X₁₂ = j0.09 Ω, X_m = j4.2 Ω.

a) Corrientes, Par, Velocidad, Potencia y Rendimiento

• I₁ = I_m + I₂'
• I_m = V_f / X_m = 400∠0° V / j4.2 Ω = -j95.238 A = 95.238∠-90° A
• I₂' = V_f / (R₁ + (R₂'/S) + X₁₂) = 400∠0° V / (0.095 Ω + (0.0026 Ω / 0.015) + j0.09 Ω) = 1413.17∠-22.11° A
• I₁ = I_m + I₂' = 95.238∠-90° A + 1413.17∠-22.11° A = 1324.46 - j426.58 = 1389.95∠-17.81° A
• cos(γ) = cos(17.81°) = 0.952 (f.d.p.)
• I_1L = I₁ · √3 = 1389.95 A · √3 = 2407.67∠-17.81° A
• P_m = P_ag(1-S) = 3 · (R₂'/S) · I₂'² · (1-S) = 3 · (0.0026 Ω / 0.015) · (1413.17 A)² · (1-0.015) = 1022884.82 W
• T_m = P_m / ω_r
• n_s = (60 · f) / p = (60 · 50 Hz) / 2 = 1500 rpm
• n_r = n_s * (1 - S) = 1500 * (1 - 0.015) = 1477.5 rpm
• ω_r = n_r · 2π / 60 = 1477.5 rpm · 2π / 60 = 154.72 rad/s
• T_m = P_m / ω_r= 1022884.82 W / 154.72 rad/s = 6611.11 Nm
• P_abs = √3 · V_L · I_L · cos(γ) = √3 · 400 V · 2407.67 A · 0.952 = 1584799.74 W
• η = P_m / P_abs = 1022884.82 W / 1584799.74 W = 0.645 = 64.5%

b) Corriente y Par de Arranque

En el arranque, S = 1.