Problemas Resueltos de Vectores y Campos Vectoriales en Coordenadas Cartesianas

Problema 1: Operaciones con Vectores en Coordenadas Cartesianas

Los vectores A = 5a_x − a_y + 3a_z, B = −2a_x + 2a_y + 4a_z y C = 3a_y − 4a_z en coordenadas cartesianas se extienden desde el origen hasta los puntos A, B y C respectivamente. Encontrar un vector unitario dirigido desde A hacia:

• a) El origen

• b) El punto B

• c) Un punto equidistante desde B hasta C sobre la línea BC

• d) La longitud del perímetro del triángulo ABC

Solución:

a) Vector unitario desde A hacia el origen

El vector desde A hacia el origen (r₀) es R_A0 = r₀ − r_A = (0 − 5)a_x + (0 − (−1))a_y + (0 − 3)a_z = −5a_x + a_y − 3a_z.

La magnitud de R_A0 es |R_A0| = √((−5)² + (1)² + (−3)²) = √(25 + 1 + 9) = √35 ≈ 5.916.

El vector unitario e_A0 es:

e_A0 = R_A0 / |R_A0| = (−5a_x + a_y − 3a_z) / 5.916

e_A0 ≈ −0.845a_x + 0.169a_y − 0.507a_z

b) Vector unitario desde A hacia el punto B

El vector desde A hacia B es R_AB = r_B − r_A = (−2 − 5)a_x + (2 − (−1))a_y + (4 − 3)a_z = −7a_x + 3a_y + a_z.

La magnitud de R_AB es |R_AB| = √((−7)² + (3)² + (1)²) = √(49 + 9 + 1) = √59 ≈ 7.681.

El vector unitario e_AB es:

e_AB = R_AB / |R_AB| = (−7a_x + 3a_y + a_z) / 7.681

e_AB ≈ −0.911a_x + 0.390a_y + 0.130a_z

c) Vector unitario desde A hacia un punto equidistante desde B hasta C sobre la línea BC

El punto medio M entre B y C (P_MBC) se calcula como:

P_MBC = (r_B + r_C) / 2 = ((−2a_x + 2a_y + 4a_z) + (3a_y − 4a_z)) / 2

P_MBC = (−2a_x + 5a_y + 0a_z) / 2 = −1a_x + 2.5a_y

El vector desde A hacia P_MBC (R_APM) es:

R_APM = P_MBC − r_A = (−1a_x + 2.5a_y) − (5a_x − a_y + 3a_z)

R_APM = (−1 − 5)a_x + (2.5 − (−1))a_y + (0 − 3)a_z = −6a_x + 3.5a_y − 3a_z

La magnitud de R_APM es |R_APM| = √((−6)² + (3.5)² + (−3)²) = √(36 + 12.25 + 9) = √57.25 ≈ 7.566.

El vector unitario e_APM es:

e_APM = R_APM / |R_APM| = (−6a_x + 3.5a_y − 3a_z) / 7.566

e_APM ≈ −0.793a_x + 0.463a_y − 0.396a_z

d) Longitud del perímetro del triángulo ABC

Calculamos las longitudes de los lados del triángulo:

• Lado AB: Ya calculamos R_AB = −7a_x + 3a_y + a_z.
• Longitud |R_AB| = √59 ≈ 7.681 unidades.
• Lado BC: R_BC = r_C − r_B = (0 − (−2))a_x + (3 − 2)a_y + (−4 − 4)a_z = 2a_x + a_y − 8a_z.
• Longitud |R_BC| = √((2)² + (1)² + (−8)²) = √(4 + 1 + 64) = √69 ≈ 8.307 unidades.
• Lado CA: R_CA = r_A − r_C = (5 − 0)a_x + (−1 − 3)a_y + (3 − (−4))a_z = 5a_x − 4a_y + 7a_z.
• Longitud |R_CA| = √((5)² + (−4)² + (7)²) = √(25 + 16 + 49) = √90 ≈ 9.487 unidades.

El perímetro del triángulo ABC es la suma de las longitudes de sus lados:

Perímetro = |R_AB| + |R_BC| + |R_CA|

Perímetro ≈ 7.681 + 8.307 + 9.487 ≈ 25.475 unidades.

Problema 2: Determinación de Coordenadas de un Punto a partir de un Vector Unitario y Magnitud

El vector R_AB une el punto A(1,2,3) con el punto B. Si la longitud de R_AB es 10 unidades y su dirección está dada por e_AB = 0.6a_x + 0.64a_y + 0.48a_z, encontrar las coordenadas de B.

Solución:

Datos: A(1,2,3), B(x,y,z), |R_AB| = 10, e_AB = 0.6a_x + 0.64a_y + 0.48a_z.

Sabemos que un vector R puede expresarse como su magnitud multiplicada por su vector unitario: R = |R|e.

También sabemos que R_AB = r_B − r_A. Por lo tanto, r_B = r_A + R_AB.

Sustituyendo R_AB = |R_AB|e_AB, obtenemos:

r_B = r_A + |R_AB|e_AB

r_B = (1a_x + 2a_y + 3a_z) + 10 × (0.6a_x + 0.64a_y + 0.48a_z)

r_B = (1a_x + 2a_y + 3a_z) + (6a_x + 6.4a_y + 4.8a_z)

r_B = (1+6)a_x + (2+6.4)a_y + (3+4.8)a_z

r_B = 7a_x + 8.4a_y + 7.8a_z

Las coordenadas del punto B son (7, 8.4, 7.8).

Problema 3: Campo Vectorial y sus Propiedades

Dado el campo vectorial G = 2x²ya_x − 2(z−x)a_y + 3xyza_z, encuentre:

• a) G en el punto P(2,−3,4)

• b) Un vector unitario en la dirección de G en P

• c) La ecuación escalar de la superficie en la cual |G|=100

• d) La coordenada y de Q(−3,y,5) si |G_Q|=100 y y>0

• e) La distancia entre P y Q

Solución:

El campo vectorial es G = 2x²ya_x − 2(z−x)a_y + 3xyza_z.

a) G en P(2,−3,4)

Sustituimos x=2, y=−3, z=4 en la expresión de G:

G(P) = 2(2)²(−3)a_x − 2(4−2)a_y + 3(2)(−3)(4)a_z

G(P) = 2(4)(−3)a_x − 2(2)a_y + 3(−6)(4)a_z

G(P) = −24a_x − 4a_y − 72a_z

b) Vector unitario en la dirección de G en P

Primero, calculamos la magnitud de G en P:

|G(P)| = √((−24)² + (−4)² + (−72)²) = √(576 + 16 + 5184) = √5776 = 76.

El vector unitario e_G(P) es:

e_G(P) = G(P) / |G(P)| = (−24a_x − 4a_y − 72a_z) / 76

e_G(P) ≈ −0.316a_x − 0.053a_y − 0.947a_z

c) Ecuación escalar de la superficie en la cual |G|=100

La magnitud de G es |G| = √((2x²y)² + (−2(z−x))² + (3xyz)²).

Si |G|=100, entonces |G|² = 100² = 10000.

(2x²y)² + (−2(z−x))² + (3xyz)² = 10000

4x⁴y² + 4(z−x)² + 9x²y²z² = 10000

Esta es la ecuación escalar de la superficie.

d) Coordenada y de Q(−3,y,5) si |G_Q|=100 y y>0

Sustituimos x=−3, z=5 en la expresión de G para el punto Q:

G_x = 2(−3)²y = 2(9)y = 18y

G_y = −2(5−(−3)) = −2(8) = −16

G_z = 3(−3)y(5) = −45y

Ahora, usamos la condición |G_Q|=100, lo que implica |G_Q|² = 10000:

(18y)² + (−16)² + (−45y)² = 10000

324y² + 256 + 2025y² = 10000

2349y² + 256 = 10000

2349y² = 10000 − 256

2349y² = 9744

y² = 9744 / 2349 ≈ 4.14857

y = √4.14857 ≈ 2.0368

Dado que y>0, la coordenada y de Q es aproximadamente 2.04.

e) Distancia entre P y Q

P(2,−3,4) y Q(−3, 2.04, 5).

El vector R_PQ que une P con Q es R_PQ = r_Q − r_P:

R_PQ = (−3 − 2)a_x + (2.04 − (−3))a_y + (5 − 4)a_z

R_PQ = −5a_x + 5.04a_y + 1a_z

La distancia entre P y Q es la magnitud de R_PQ:

|R_PQ| = √((−5)² + (5.04)² + (1)²)

|R_PQ| = √(25 + 25.4016 + 1)

|R_PQ| = √51.4016 ≈ 7.17 unidades.

Problema 4: Análisis de un Campo Vectorial

Un campo vectorial se especifica como:

F = 2(x+y)sin(πz)a_x − (x²+y)a_y + ¹⁰⁄_(x²+y²)a_z

Especificar el lugar geométrico de todos los puntos en los que:

• a) F_x = 0

• b) F_y = 0

• c) |F_z| = 1

Solución:

a) F_x = 0

La componente F_x es 2(x+y)sin(πz).

Para que F_x = 0, se debe cumplir que:

• x+y = 0 → y = −x (Esta es la ecuación de un plano que pasa por el origen y es perpendicular al plano xy, con una inclinación de 45 grados respecto a los ejes x e y).
• O bien, sin(πz) = 0 → πz = nπ (donde n es un número entero) → z = n, para n = 0, ±1, ±2, ... (Estas son ecuaciones de planos paralelos al plano xy, espaciados uniformemente).

El lugar geométrico son todos los puntos que se encuentran en el plano y = −x O en cualquiera de los planos z = n.

b) F_y = 0

La componente F_y es −(x²+y).

Para que F_y = 0, se debe cumplir que:

−(x²+y) = 0 → x²+y = 0 → y = −x²

Esta ecuación representa un cilindro parabólico, cuyas generatrices son paralelas al eje z y su sección transversal en el plano xy es una parábola y = −x².

c) |F_z| = 1

La componente F_z es ¹⁰⁄_(x²+y²).

Para que |F_z| = 1, se debe cumplir que:

|¹⁰⁄_(x²+y²)| = 1

Dado que x²+y² es siempre no negativo, y el denominador no puede ser cero (lo que haría F_z indefinido), podemos escribir:

¹⁰⁄_(x²+y²) = 1

Esto implica que x²+y² = 10.

Esta ecuación representa un cilindro circular, con radio √10, cuyo eje coincide con el eje z.