Procedimientos Clave para Resolver Ecuaciones, Inecuaciones y Geometría Analítica

Resumen de Procedimientos Matemáticos Fundamentales

I. Resolución de Ecuaciones

Ecuaciones Racionales

1. Calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.
2. Resolver la ecuación resultante.
3. Comprobar que las soluciones obtenidas no anulan ningún denominador (el resultado no puede ser cero en los denominadores).

Ecuaciones Irracionales

1. Aislar uno de los radicales en uno de los miembros de la ecuación.
2. Elevar ambos miembros al cuadrado.
3. Si persisten radicales, repetir el proceso de aislamiento y elevación al cuadrado.
4. Resolver la ecuación algebraica resultante.
5. Comprobar rigurosamente todas las soluciones en la ecuación original.

Ecuaciones Exponenciales

1. Aplicar propiedades de las potencias para expresar todos los términos con la misma base.
2. Aplicar propiedades de las potencias para igualar los exponentes (si es posible).
3. Realizar el cambio de variable, usualmente sustituyendo $t$ por la expresión exponencial común.

II. Inecuaciones

Inecuaciones Lineales

1. Sumar y restar términos para agrupar las variables en un miembro y las constantes en el otro.
2. Despejar la variable, recordando invertir el sentido del signo de la desigualdad si se multiplica o divide por un número negativo.
3. Expresar la solución en notación de intervalo: $x \in \text{Intervalo}$.

Inecuaciones de Segundo Grado

1. Pasar todos los términos a un lado de la desigualdad, igualando la expresión a cero (forma general $ax^2 + bx + c \gtreqqless 0$).
2. Hallar las raíces de la ecuación cuadrática asociada ($ax^2 + bx + c = 0$).
3. Representar las raíces en una recta numérica, dividiendo el eje en intervalos.
4. Estudiar el signo de la expresión en cada intervalo (usando un valor de prueba o considerando la concavidad de la parábola).

III. Geometría Analítica de la Recta

Cálculo de Vectores

• Vector Director ($\vec{v}$): Se calcula restando las coordenadas de dos puntos $A$ y $B$: $\vec{v} = B - A$.
• Vector Perpendicular a uno dado: Si $\vec{v} = (a, b)$, un vector perpendicular es $\vec{v}^{\perp} = (-b, a)$ o $(b, -a)$ (cambiando el orden de las coordenadas y el signo de una de ellas).
• Para calcular el vector director a partir de dos puntos dados: Multiplicar las coordenadas de los puntos por un mismo escalar (aunque esto generalmente se usa para obtener vectores paralelos, no el director canónico $B-A$).

Formas de la Ecuación de la Recta

Ecuación Vectorial

Utiliza un punto $P_0 = (x_0, y_0)$ y el vector director $\vec{v} = (v_x, v_y)$:

$$(x, y) = (x_0, y_0) + t \cdot (v_x, v_y)$$

Ecuación Paramétrica

Se obtiene de la vectorial, separando las coordenadas:

$$x = x_0 \pm v_x \cdot t$$ $$y = y_0 \pm v_y \cdot t$$

Ecuación Continua

Se obtiene despejando $t$ de las ecuaciones paramétricas e igualando:

$$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y}$$

Donde $x_0$ y $y_0$ son las coordenadas del punto con el signo cambiado respecto a la ecuación, y $v_x, v_y$ son los componentes del vector director.

Ecuación General (Implícita)

Se obtiene multiplicando en cruz la ecuación continua y simplificando:

$$Ax + By + C = 0$$

Para encontrar la ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y), se sustituye $x=0$ y se resuelve para $y$, obteniendo el punto $(0, y_{\text{corte}})$.

Ecuación Explícita

Se despeja $y$ a partir de la ecuación general ($y = mx + n$):

$$y = mx + n$$

Donde $m$ es la pendiente y $n$ es la ordenada en el origen.

Operaciones con Vectores

• Módulo (Norma): $\|\vec{u}\| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$. (Todo la raíz al cuadrado es incorrecto, es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes).
• Producto Escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y$. También se define como: $\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos(\theta)$, donde $\theta$ es el ángulo entre ellos.

IV. Tablas de Variación y Estadística Descriptiva

Tabla de Frecuencias y Tasa de Variación

La tasa de variación media en un intervalo $[a, b]$ es:

$$\text{Tasa de Variación} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Columnas de la Tabla Estadística

• $x_i$: Valores o clases de la variable.
• $f_i$: Frecuencia absoluta (el número de veces que aparece cada valor). Debajo se coloca $n$ (el total de observaciones).
• $h_i$: Frecuencia relativa ($h_i = f_i / n$).
• $F_i$: Frecuencia absoluta acumulada (suma de los $f_i$ hasta esa fila).
• $H_i$: Frecuencia relativa acumulada (suma de los $h_i$ hasta esa fila).
• $x_i f_i$: Producto del valor por su frecuencia.
• $x_i^2 f_i$: Valor al cuadrado multiplicado por su frecuencia.

Medidas de Centralización y Dispersión

• Moda ($Mo$): El valor de $x_i$ que corresponde a la mayor frecuencia absoluta ($f_i$).
• Mediana ($Me$): El valor central cuando todos los datos están ordenados. Si $n$ es par, es el promedio de los dos valores centrales.
• Media Aritmética ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{\sum (x_i f_i)}{n}$$
• Desviación Típica ($\sigma$): $$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i^2 f_i)}{n} - \bar{x}^2}$$ (La fórmula descrita en el original es correcta, pero se formaliza así).
• Coeficiente de Variación ($CV$): $$\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}}$$
• Cuartiles ($Q_k$):
  • $Q_1$: Posición $n/4$.
  • $Q_2$: Mediana (Posición $2n/4 = n/2$).
  • $Q_3$: Posición $3n/4$.