Producto Punto de Vectores: Definición, Propiedades y Aplicaciones

Producto Punto de Vectores

Definición 4.6.

Dados dos vectores ~v = (a, b, c) y ~u = (d, e, f), se define el producto punto (o producto interno o producto escalar) de estos vectores, como el valor numérico dado por:

~v ⋅ ~u = (a, b, c) ⋅ (d, e, f) = ad + be + cf.

Otra definición equivalente:

A veces el producto interno de ~v = (a, b, c) y ~u = (d, e, f), se define también como:

~v ⋅ ~u = ||u|| ⋅ ||v|| ⋅ cos(θ),

donde θ es el ángulo generado entre ambos vectores.

Teorema 4.2. (Propiedades del producto punto)

Sean ~v, ~u y ~w vectores del plano o del espacio y λ una constante real, entonces:

• 1. ~v ⋅ ~v = ||v||²
• 2. ~v ⋅ ~u = ~u ⋅ ~v
• 3. ~v ⋅ (~u + ~w) = ~v ⋅ ~u + ~v ⋅ ~w
• 4. λ(~v ⋅ ~u) = (λ~v) ⋅ ~u = ~v ⋅ (λ~u)
• 5. ~v ⋅ ~u = 1/2 ⋅ (||v||² + ||u||² - ||u - v||²)

Definición 4.7.

Dados dos vectores ~v y ~u, se dice que estos dos son perpendiculares (u ortogonales) si y sólo si ~v ⋅ ~u = 0.

Observación 4.8.

Note que si ~v y ~u son perpendiculares (y ninguno de ellos es el vector cero), entonces

~v ⋅ ~u = 0 implica ||v|| ||u|| cos(θ) = 0 implica cos(θ) = 0,

(es decir, se cumple el concepto usual de perpendicularidad).

Ejemplo 4.8 (C1).

Suponga que ~v y ~u son dos vectores tales que ||~v|| = 2, ||~u|| = 3 y el ángulo que forman es de π. Calcule el valor de (2~v − ~u) ⋅ (~v − 3~u).

Solución:

(2~v − ~u) ⋅ (~v − 3~u) = 2~v ⋅ ~v − 6~v ⋅ ~u − ~u ⋅ ~v + 3~u ⋅ ~u

= 2||v||² − 7(~v ⋅ ~u) + 3||u||²

= 2||v||² − 7(||v|| ||u|| cos(θ)) + 3||u||²

= 2(2)² − 7(2)(3)cos(π) + 3(3)²

= 8 − 7(6)(-1) + 27

= 8 + 42 + 27

= 77.

Ejemplo 4.10 (C2).

Sean ~a y ~b dos vectores tales que la magnitud de ~b es 2√17, el ángulo formado por ~a y ~b es 3 y el vector ~a − ~b es perpendicular a ~b. Calcule la magnitud del vector ~a.

Solución:

Sabemos que: ~a ⋅ ~b = ||a|| ⋅ ||b|| ⋅ cos(θ).

Además, (~a − ~b) ⋅ ~b = 0, entonces ~a ⋅ ~b = ~b ⋅ ~b = ||b||².

4.3. Paralelismo y perpendicularidad de rectas

Definición 4.8.

Dos rectas L1 y L2 (en el plano o espacio) son paralelas si y solo si sus vectores directores son paralelos.

Observación 4.9.

Dados dos vectores ~v = (a, b, c) y ~u = (d, e, f), si se cumple que:

a/d = b/e = c/f = λ

entonces ~v es paralelo a ~u. De hecho ~v = λ~u.