Producto Vectorial en R³: Conceptos Fundamentales y Propiedades Esenciales

Producto Vectorial en R³: Definición y Características

El producto vectorial de dos vectores, que definiremos a continuación, es una operación fundamental en R³. Se trata de una aplicación de R³ × R³ en R³, tal que a una pareja de vectores (u, v) le hace corresponder otro vector u × v (escrito a veces u ∨ v) que denominaremos su producto vectorial, externo o cruzado (cross product).

Antes de definir formalmente este producto, observamos que, dados dos vectores arbitrarios u = (x₁, x₂, x₃) y v = (y₁, y₂, y₃), un tercer vector w = (n₁, n₂, n₃) será perpendicular a ambos si los productos escalares u ⋅ w = 0 y v ⋅ w = 0 son cero. Esto equivale a que los números reales n₁, n₂, n₃ sean solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = 0
n₁y₁ + n₂y₂ + n₃y₃ = 0

Por el método de Cramer, es fácil verificar que la solución general de este sistema son los múltiplos arbitrarios de la terna de números reales (x₂y₃ − x₃y₂, x₃y₁ − x₁y₃, x₁y₂ − x₂y₁).

Definición del Producto Vectorial

Definición 3. Llamamos producto vectorial de u, v ∈ R³ al vector u × v = (x₂y₃ − x₃y₂, x₃y₁ − x₁y₃, x₁y₂ − x₂y₁).

Con esta definición, se observan varias propiedades importantes:

• Si u = v, entonces u × u = 0.
• Los vectores de la base canónica i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1), verifican las siguientes relaciones:
  • i × j = k
  • j × k = i
  • k × i = j
  • j × i = −k
  • k × j = −i
  • i × k = −j
• Si se intercambian los papeles de u y v, las coordenadas cambian de signo, es decir, u × v = −v × u. Esto significa que el producto vectorial es anticonmutativo (a veces denominado antisimétrico).
• Si uno de los vectores es múltiple de un número real λ, este sale como factor común en las tres coordenadas. Es decir, se cumple λu × v = λ(u × v) = u × λv.

Propiedades Fundamentales del Producto Vectorial

Lema 2. [Propiedades del producto vectorial]

1. u × v es ortogonal a u y a v.
2. El producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores y compatible con el producto por un escalar: (λu + μv) × w = λ(u × w) + μ(v × w).
3. El producto vectorial es anticonmutativo: u × v = −v × u, y también u × u = 0.
4. u × v = 0 si y solo si existen escalares λ, μ ∈ R tales que λu = μv (es decir, si los vectores son paralelos o colineales).

Demostración de la Propiedad de Paralelismo

Demostración: Demostraremos la propiedad 4).

Primero, si λu = μv con μ ≠ 0, entonces v = (λ/μ)u y se tiene:

u × v = u × (λ/μ)u = (λ/μ)(u × u) = (λ/μ)0 = 0

Recíprocamente, si u × v = 0, entonces x_iy_j = x_jy_i para todo i, j = 1, 2, 3. Esto implica que, para cada j, se tiene x_jv = y_ju.

• Si u ≠ 0, entonces algún x_k ≠ 0. Podemos tomar λ = y_k y μ = x_k.
• En caso contrario, si u = 0, tomamos λ = 1 y μ = 0.

Módulo del Producto Vectorial

Lema 3. [Módulo del producto vectorial]

Si α es el ángulo formado por dos vectores u y v en R³, entonces el módulo (o magnitud) del producto vectorial se calcula como:

||u × v|| = ||u|| ||v|| sin(α)