Productos notables y técnicas de factorización algebraica
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Productos notables
1. Caso: cuadrado de la suma de dos cantidades
Primer término elevado al cuadrado.
El doble del primer término por el segundo.
Segundo término elevado al cuadrado. Todos los términos serán positivos.
Fórmula: (a + b) = a2 + 2ab + b2
2. Caso: cuadrado de la resta de dos cantidades
Primer término elevado al cuadrado.
El doble del primer término por el segundo, con signo negativo.
Segundo término elevado al cuadrado.
Los signos serán alternados: + − +.
Fórmula: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
3. Caso: producto de la suma por la diferencia de cantidades iguales
Fórmula: (A + B)(A - B) = A2 - B2
4. Caso: cubo de un binomio
Primer término elevado al cubo.
Más o menos el triple del primer término al cuadrado por el segundo término.
Más el triple del primer término por el segundo término al cuadrado.
Más o menos el segundo término elevado al cubo.
Fórmulas:
- (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
5. Caso: producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)
Desarrollo: x2 + (a + b)x + ab
Cocientes notables
1. Caso: cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la resta
Si divides la diferencia de cuadrados por la suma o la resta, se obtiene el otro sumando/resta:
- (a2 - b2)/(a - b) = a + b
- (a2 - b2)/(a + b) = a - b
2. Caso: cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de sus raíces
La suma o diferencia de cubos dividida entre la suma o diferencia de sus raíces da un trinomio cuadrático:
- (a3 + b3)/(a + b) = a2 - ab + b2
- (a3 - b3)/(a - b) = a2 + ab + b2
Factorizar
Factorizar un monomio
Los factores de un monomio se pueden observar por simple inspección.
1. Caso: factor común
- Debe haber uno o más términos.
- Debe haber alguna letra (variable) en común.
- El factor común puede ser número, letra o número y letra.
- Los números deben ser múltiplos entre sí para sacar un factor numérico común.
Factorizar un polinomio
2. Caso: factor común por agrupación de términos (características)
- Agrupamos términos que tengan algo en común, separados por el signo correspondiente.
- Resolvemos cada paréntesis sacando el factor común de cada grupo.
- Sacamos el factor común polinómico que aparece en todos los paréntesis y así obtenemos la respuesta final.
3. Caso: diferencia de cuadrados
Condiciones:
- Debe haber dos términos que sean cuadrados perfectos.
- La variable debe tener exponente par en esos términos.
- Los términos deben estar separados por el signo −.
Fórmula: a2 - b2 = (a - b)(a + b)
Trinomio cuadrado perfecto
Para reconocer y factorizar un trinomio cuadrado perfecto:
- Se extrae la raíz cuadrada de los términos extremos.
- Se toma el signo del término central y se forma el binomio correspondiente.
- Finalmente se eleva todo al cuadrado.
Ejemplo: a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2