Propiedades y Clasificación de Poliedros y Polígonos en Geometría

Poliedros

1. Naturaleza

1.1. Convexo: Se define cuando sus ángulos son menores a 180º. Una característica visual es que, al situarlo en la palma de la mano, el poliedro queda orientado hacia arriba.

1.2. Cóncavo: Se define cuando posee ángulos mayores a 180º (a excepción de las maclas, que son asociaciones simétricas del mismo cristal).

2. Número de Caras

El poliedro se clasifica también según su número de caras.

Seis Condiciones de los Poliedros Regulares

A continuación se detallan las características más comunes de los poliedros regulares:

• 1. Todas sus caras son iguales.
• 2. Todas sus caras son concluyentes.
• 3. Todos sus ángulos poliedros son iguales (en cada vértice concurre el mismo número de aristas).
• 4. Que tengan todos sus ángulos concluyentes.
• 5. Todas sus caras son regulares.
• 6. Que todos sus ángulos poliedros sean regulares.

Clasificación según el cumplimiento de condiciones

• 1.1.2 Equifaciales: Cumplen las condiciones c1 + c2.
• 1.1.3 Equiangular: Cumplen las condiciones c3 + c4.
• 1.1.4 Poliedro Convexo Semirregular:
  • 1.1.4.1 Equifacial o Coarquimediano: Cumple las condiciones c1 + c2 + c6.
  • 1.1.4.2 Equiangular o Arquimediano: Cumple las condiciones c3 + c4 + c5.
• Poliedro Regular: Cumple la totalidad de las condiciones (c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6).

Cálculo de Singularidad

σ = 2A - 3V

Donde:

• σ = 0: Poliedros ordinarios.
• σ ≠ 0: Poliedros singulares.

Tabla de Poliedros Regulares

Polígonos

Se definen según su morfología y número de lados (siempre mayor a 2):

• 3: Triángulo
• 4: Cuadrilátero
• 5: Pentágono
• 6: Hexágono
• 7: Heptágono
• 8: Octógono
• 9: Eneágono
• 10: Decágono
• 11: Endecágono
• 12: Dodecágono

Clasificación según su forma

1. Convexos: Un lado deja al resto de la figura en un mismo semiplano.
2. Cóncavos: Caso contrario al convexo.
3. Equiláteros: Todos sus lados son iguales.
4. Equiángulos: Todos sus ángulos son iguales.

Cuando un polígono convexo cumple simultáneamente ser equilátero (3) y equiángulo (4), se denomina polígono regular. Si es equilátero con ángulos alternativos iguales, o equiángulo con lados alternativos iguales, se denomina semirregular.

Líneas Poligonales

Dados "n" puntos de un plano en un cierto orden (A, B, C...), se constituye una sucesión de n-1 segmentos, cuya posición se determina con la medida de su longitud y los ángulos comprendidos entre ellos.

• Poligonal abierta: La figura formada por la sucesión de segmentos.
• Poligonal cerrada: Si se une el punto inicial A con el punto final D.
• Vértices: Los puntos A, B, C, D.
• Lados: Los segmentos AB, BC, CD.
• Lados consecutivos: Aquellos que comparten un vértice común.
• Poligonal entrecruzada: Cuando dos lados no consecutivos se cortan.
• Poligonal convexa: Si un lado de la poligonal deja al resto en un solo semiplano.
• Poligonal cóncava: Caso contrario a la convexa.
• Poligonal alabeada: Cuando los vértices no son coplanarios.

Poliedros Duales

Existe una relación de correspondencia entre un poliedro primitivo y su dual:

• V1 = C2 (Los vértices del primero equivalen a las caras del segundo).
• C1 = V2 (Las caras del primero equivalen a los vértices del segundo).
• A1 = A2 (Ambos poseen el mismo número de aristas).