Propiedades y Comportamiento de las Funciones Racionales

Definición de Función Racional

La función racional es una fracción donde el numerador y el denominador son polinomios. Su fórmula general es f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) es un polinomio en el numerador y Q(x) es un polinomio en el denominador, el cual no puede ser igual a 0 (porque no se puede dividir entre cero).

Ejemplo: f(x) = (2x + 3) / (x² - 4). En este caso, el polinomio del numerador es 2x + 3 y el polinomio del denominador es x² - 4.

Dominio y Rango en una Función Racional

Para determinar el comportamiento de la función, existen tres casos principales basados en el grado del polinomio (el exponente máximo de la variable):

• Caso 1: Cuando el grado del numerador (GN) es igual al grado del denominador (GD), la asíntota horizontal se encuentra en y = aₙ / bₙ (cociente de los coeficientes principales).
• Caso 2: Cuando el grado del numerador es mayor que el del denominador (GN > GD), la función no tiene asíntota horizontal, pero puede tener una asíntota oblicua.
• Caso 3: Cuando el grado del numerador es menor al grado del denominador (GN < GD), la función tiende a una asíntota horizontal en y = 0.

Asíntotas Verticales

Cuando el denominador es igual a 0, se presenta una asíntota vertical. Por ejemplo, en la función y = (2x - 5) / (x - 3), sus grados son iguales porque solo hay x con exponente 1. Al resolver x - 3 = 0, obtenemos que la asíntota está en x = 3.

Ejemplos según el Grado

• GN = GD: y = (2x - 5) / (x - 3); su grado es 1 (exponente de x).
• GN > GD: f(x) = (x² - 4x + 1) / (x - 2); el grado del numerador es 2.
• GN < GD: y = (x¹ - 3) / (x² + x¹ - 2); su grado es 2.

La asíntota horizontal se define como: y = coeficiente principal del numerador / coeficiente principal del denominador.

Restricciones de las Funciones Racionales

Una función racional no debe llevar seno (sen), paréntesis complejos, logaritmo natural (ln), la constante e elevada a una potencia, tangente (tan) o raíces. No debe ser una función lineal, ni tampoco debe contener una fracción dentro de la propia función.

Dominio de la Función Racional

El dominio de una función racional es el conjunto de todos los valores de la variable independiente (x) para los cuales la función está definida. Para encontrarlo en una función racional, se siguen estos pasos:

1. Se toma el denominador Q(x).
2. Se iguala a cero y se resuelve la ecuación Q(x) = 0 para encontrar los valores de x que deben excluirse del dominio.
3. El dominio será el conjunto de todos los números reales excepto estos valores.

Ejemplo: f(x) = 12 / (x - 8)

x - 8 = 0 → x = 8. Por lo tanto, el dominio son todos los valores de x ∈ ℝ excepto x = 8. El valor x = 8 no pertenece al dominio.

Intersecciones y Discontinuidades

Intersección con el eje Y

Para hallar la intersección con el eje y, se sustituye x = 0 en la función.

Análisis mediante Factorización

Considerando la función f(x) = (x² + 2x - 15) / (x² + 3x - 18) (basado en el ejemplo de factores):

Factorizando: f(x) = [(x - 3)(x + 5)] / [(x - 3)(x + 6)]. Para encontrar los elementos buscados, cada factor se iguala a cero y se despeja x:

• Asíntota vertical: Se busca en el denominador los factores que no se repiten en el numerador (en este caso, x + 6 = 0, por lo que x = -6).
• Discontinuidad evitable: Se buscan en el denominador los factores que se repiten una vez en el numerador (en este caso, x - 3 = 0, por lo que x = 3).
• Intersección con el eje X: Se buscan en el numerador los factores que no se repiten en el denominador (en este caso, x + 5 = 0, por lo que x = -5).