Propiedades Esenciales y Teoremas Fundamentales de las Funciones Continuas

2.12.

Propiedades de las Funciones Continuas

Propiedades Puntuales

Propiedad de Acotación

Si f es una función continua en un punto x = a, entonces existe un entorno E(a, δ) en el que f está acotada.

Demostración: Por ser f continua en x = a, para todo ε > 0, existe un entorno E(a, δ) tal que para todo x ∈ E(a, δ), f(x) ∈ E(f(a), ε), es decir, f(a) - ε < f(x) < f(a) + ε. Luego, para todo x ∈ E(a, δ), f(x) está acotada entre f(a) - ε y f(a) + ε.

Propiedad del Signo

Si f es una función continua en un punto x = a, y f(a) ≠ 0, entonces existe un entorno E(a, δ) donde el signo de f(x) coincide con el signo de f(a).

Demostración: Si f(a) > 0, elegimos un ε tal que f(a) - ε > 0. Entonces, existe un δ(ε) > 0 tal que para todo x ∈ E(a, δ) se cumple que |f(x) - f(a)| < ε. Luego, f(x) > f(a) - ε y, por tanto, f(x) > 0, es decir, sgn(f(x)) = sgn(f(a)).

Propiedades Globales

Acotación en Intervalos Cerrados

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces está acotada en dicho intervalo [a, b], es decir, existen k, K ∈ ℝ tales que para todo x ∈ [a, b], k ≤ f(x) ≤ K.

Teorema de Bolzano-Weierstrass (Existencia de Extremos)

Si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces la función presenta máximo y mínimo en dicho intervalo, es decir, existen c₁, c₂ ∈ [a, b] tales que para todo x ∈ [a, b], f(c₁) ≤ f(x) ≤ f(c₂).

Demostración: Como f(x) es continua en I = [a, b], según la propiedad anterior, f(x) está acotada en I; luego, existe un supremo. Denominemos M = sup f(I).

Vamos a suponer que M no es un máximo, es decir, que para todo x ∈ [a, b] se cumple que f(x) < M. Definimos ahora una función g(x) = 1 / (M - f(x)).

g(x) es continua en I porque f(x) es continua en I y M - f(x) > 0 en I; luego, aplicando de nuevo la propiedad anterior, g(x) está acotada en I. Así pues, podemos escribir que para todo x ∈ I se cumple que 0 < g(x) < K.

Entonces, 0 < 1 / (M - f(x)) < K ⇒ M - f(x) > 1/K ⇒ f(x) < M - 1/K, para todo x ∈ I.

La conclusión a la que hemos llegado resulta absurda, ya que habíamos dicho que M es el supremo (la menor cota superior), y hemos concluido que existen cotas superiores menores que M. Así pues, el suponer que M no es máximo nos ha llevado a un absurdo. Por lo tanto, M debe ser el máximo.

Teorema del Valor Intermedio de Darboux

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces la función f toma todo valor comprendido entre f(a) y f(b) al menos una vez en [a, b].

Teorema de los Ceros de Bolzano (Caso Particular del Teorema del Valor Intermedio)

Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signos opuestos en sus extremos, es decir, f(a)f(b) < 0, entonces la función se anula en algún punto de (a, b). Como es evidente, se trata de un caso particular del teorema anterior, ya que y₀ = 0 es un punto intermedio entre f(a) y f(b).

Teorema de Darboux (Teorema de la Imagen)

Si f es una función continua en un intervalo cerrado I = [a, b], entonces la imagen del intervalo I es el intervalo cerrado que tiene por extremos el mínimo (m) y el máximo (M) de la función en dicho intervalo I, es decir, f(I) = [m, M].