Propiedades de los Estimadores MCO y MV en Regresión Lineal: Verdades y Falsedades

Propiedades de los Estimadores MCO y MV en el Modelo de Regresión Lineal

Conceptos Clave y su Veracidad

A continuación, se presentan una serie de afirmaciones relacionadas con las propiedades de los estimadores de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) y Máxima Verosimilitud (MV) en el contexto del modelo básico de regresión lineal. Se indica si cada afirmación es Verdadera o Falsa, y se proporciona una breve justificación cuando es necesario.

• La eficiencia de un estimador insesgado implica la menor de las varianzas posibles. Verdadero
• La correlación entre las variables explicativas incrementa la varianza estimada de los parámetros (entre otros factores). Verdadero
• Los parámetros reales del modelo son variables aleatorias. Falso
• La eficiencia implica varianza mínima de un estimador, pero no necesariamente varianza pequeña. Verdadero
• \(\hat{\beta} = \beta + WU\) indica la forma lineal del estimador \(\hat{\beta}\). Verdadero
• Supuestas propiedades/hipótesis ideales, la expresión \(\hat{\beta} \rightarrow N(\beta, (X'X)^{-1})\) resume las propiedades ideales de los parámetros MCO. Falso - Esta expresión resume la distribución asintótica del estimador, no sus propiedades ideales en muestras finitas.
• La normalidad del estimador MCO es una hipótesis que se deriva de su conexión lineal con la perturbación aleatoria “U” y de la normalidad de esta. Verdadero
• Para que MCO sea eficiente, se requiere, entre otros factores, escasa multicolinealidad. Verdadero - La multicolinealidad incrementa la varianza de los estimadores. La afirmación original era falsa.
• La insesgadez es, desde el punto de vista teórico, una propiedad relativa a la precisión del estimador. Falso - La insesgadez se refiere a la ausencia de sesgo sistemático, no a la precisión. La precisión está más relacionada con la varianza.
• La insesgadez no es una propiedad natural de MCO, sino que depende de la ausencia de relación entre la U y las X. Verdadero
• La insesgadez es, desde el punto de vista teórico, una propiedad que indica que la estimación probablemente será coincidente con el verdadero parámetro a estimar. Falso - La insesgadez indica que, en promedio, el estimador coincide con el parámetro. La consistencia, no la insesgadez, es la propiedad que asegura que la estimación probablemente coincidirá con el verdadero parámetro a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
• La cota de Cramer-Rao indica el valor de la varianza para el estimador eficiente de una familia de estimadores insesgados. Verdadero
• La cota de Cramer-Rao, en su expresión habitual, ha de coincidir con la esperanza del estimador MCO para garantizar su insesgadez. Falso - La cota de Cramer-Rao se relaciona con la varianza, no con la esperanza (que se relaciona con la insesgadez).
• La cota de Cramer-Rao puede ser inferior a la varianza del estimador MCO en determinadas circunstancias. Falso - La cota de Cramer-Rao establece un límite inferior para la varianza de cualquier estimador insesgado. Por definición, la varianza de un estimador insesgado no puede ser inferior a la cota de Cramer-Rao.
• La varianza del estimador MCO es igual a la cota de Cramer-Rao calculada para el contexto del modelo de regresión. Falso - Solo bajo ciertas condiciones (como la eficiencia del estimador MCO) la varianza del estimador MCO alcanza la cota de Cramer-Rao.
• La varianza teórica del estimador MCO depende de la varianza teórica de la perturbación aleatoria. Verdadero
• La varianza teórica del estimador depende de la inversa de la matriz (X'X). Verdadero
• La eficiencia del MCO se garantiza en la medida en que \(V(U) = \sigma^2 I_n\). Verdadero
• La eficiencia de MCO depende, entre otros factores, de las propiedades de la matriz \(\sigma_u (X'X)^{-1}\). Falso - La eficiencia depende de las propiedades de la matriz de varianzas y covarianzas de las perturbaciones, no de esta expresión.
• La eficiencia de un estimador es una propiedad interesante solo para la familia de los estimadores insesgados. Verdadero
• La consistencia de los parámetros puede verificarse con si son o no insesgados los parámetros. Falso - La consistencia y la insesgadez son propiedades distintas. La insesgadez no garantiza la consistencia.