Propiedades Fundamentales de Figuras Geométricas Planas: Triángulos, Cuadriláteros y Circunferencias

Propiedades Fundamentales de Figuras Geométricas Planas

A continuación, se detallan las definiciones y características esenciales de diversas figuras geométricas, organizadas por categorías para facilitar su estudio.

I. Elementos Notables en Triángulos

En el contexto de los triángulos, se definen las siguientes rectas notables:

• Bisectriz: Son las rectas que cortan en dos al ángulo de los lados, pasando por el vértice de dicho ángulo. El punto de intersección de las 3 bisectrices se denomina Incentro.
• Mediatriz: Son las rectas que dividen perpendicularmente al lado del polígono en dos partes iguales. El punto de intersección se llama Circuncentro.
• Medianas: Son rectas que pasan por un vértice y van al punto medio del lado opuesto.
• Alturas: Las alturas son los segmentos de recta que van perpendicularmente desde un vértice al lado opuesto. Es importante considerar también el triángulo ortocentro, formado por los tres pies de las tres alturas como vértices de dicho triángulo (se representa usualmente en discontinua).

II. Clasificación y Propiedades de Cuadriláteros

Se describen las características de los principales cuadriláteros:

A. Paralelogramos

• Cuadrado: Es un paralelogramo que tiene sus lados iguales, sus ángulos rectos y sus diagonales perpendiculares.
• Rectángulo: Es un paralelogramo que tiene sus lados iguales dos a dos, sus ángulos rectos y sus diagonales oblicuas.
  • Rectángulo clásico: Es el formado por el lado de un cuadrado y su diagonal como lado mayor.
  • Rectángulo homotético: Es el generado por la diagonal del rectángulo clásico.
• Rombo: Es un paralelogramo que tiene sus lados y sus ángulos iguales dos a dos y sus diagonales perpendiculares. (Ejemplo: *rombo lasange*: el que resulta de dividir la diagonal mayor en 7 partes y la menor en 5).
• Romboide: Es un paralelogramo que tiene sus ángulos y sus lados iguales dos a dos y sus diagonales oblicuas.

B. Trapecios y otros

• Trapecios:
  • Rectos: Aquellos que tienen dos ángulos rectos. Hay dos tipos: el normal y el más pequeño que se junta con la diagonal mayor.
  • Isósceles: Es el que tiene sus ángulos iguales dos a dos, dos lados iguales y sus diagonales oblicuas.
  • Escaleno: Aquel que tiene sus cuatro ángulos diferentes, sus diagonales oblicuas y sus lados son diferentes.
• Trapezoide:
  • Común: Equivalente al escaleno.
  • Cóncavo: Es el que tiene un ángulo interno obtuso (o cóncavo).
  • Bisósceles: Tiene dos ángulos iguales, las diagonales perpendiculares y sus lados son iguales dos a dos.

III. Superficies Relacionadas con la Circunferencia

Definiciones de las distintas áreas delimitadas por una circunferencia:

• Círculo: Es la superficie comprendida dentro de la circunferencia.
• Semicírculo: Es la superficie comprendida entre el diámetro y el arco que abarca.
• Segmento circular: Es la superficie comprendida entre una cuerda y el arco que abarca dicha cuerda.
• Cuadrante circular: Es la superficie comprendida entre dos radios perpendiculares y el arco que abarca.
• Sector circular: Es la superficie comprendida entre dos radios que no son perpendiculares y el arco que abarca.
• Trapecio circular: Es la superficie comprendida entre dos arcos concéntricos de dos circunferencias concéntricas y las secciones de arco que abarcan.
• Corona circular: Es la superficie comprendida entre los arcos de dos circunferencias concéntricas.
• Lúnula: Es la superficie comprendida entre los arcos de dos circunferencias que se cortan en dos puntos secantes.

IV. Tangencias y Ángulos en la Circunferencia

A. Tangencias entre Circunferencias

Es el punto donde se juntan dos circunferencias.

B. Ángulos de la Circunferencia

Se clasifican según la posición de su vértice:

• Central: Es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia y sus lados cortan en dos puntos del arco de la circunferencia. (Fórmula: $\alpha = \text{arco } AB$).
• Interior: Es el que tiene el vértice en cualquier punto que no sea el centro. (Fórmula: $\alpha = (\text{arco } AB + \text{arco } \beta) / 2$).
• Circunscrito: Es el que tiene su vértice fuera de la circunferencia y sus lados son tangentes a ella. (Fórmula: $\alpha = (\text{arco } \beta - \text{arco } \gamma) / 2$).
• Semiscrito: Es el que tiene su vértice en un punto de la circunferencia. Un lado corta a cualquier punto y el otro es externo a la circunferencia. Su valor es relativo. Existe una variante donde el lado que antes era externo ahora es tangente a la circunferencia. (Fórmula: $\alpha_1 = \text{arco } tgB / 2 = \beta / 2$).
• Semiexterno: Es el que tiene su vértice fuera de la circunferencia; un lado es tangente a la circunferencia y el otro lado la corta en 2 puntos.
• Externo: Es el que tiene el vértice fuera de la circunferencia. Sus lados cortan en dos puntos de la circunferencia.

C. Arco Capaz

Es el lugar geométrico de los puntos desde donde se ve un segmento bajo un ángulo constante. Se relaciona con la propiedad de que el ángulo subtendido por un segmento en la circunferencia es constante.

Ejemplos de relaciones angulares: $60^{\circ} = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$; $30^{\circ} = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$; $180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \rightarrow 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$.

V. Consideración Final

Los polígonos regulares se construyen o analizan frecuentemente utilizando sus mediatrices.