Propiedades Fundamentales de la Geometría Euclidiana: Círculos y Triángulos Órticos

Principios Clave de la Geometría Plana

El Lugar Geométrico de la Razón Constante (Círculo de Apolonio)

El lugar geométrico de los puntos del plano cuya razón de distancias a otros dos puntos fijos $A$ y $B$ es constante (el valor $K$) es una circunferencia. Esta circunferencia tiene como diámetro el segmento $XY$ determinado por $A$, $B$ y el número constante $K$, siempre que $K$ sea distinto de 1. Esto se cumple si $AXBY$ es una cuaterna armónica.

Teorema del Ángulo Inscrito y el Ángulo Central

Cuando el vértice $A$ de un ángulo $MAN$ es un punto de un arco y sus lados pasan por los extremos del mismo, se dice que el ángulo está inscrito en el arco $MAN$ y también en la circunferencia que los contiene. En cuanto al arco restante $MN$, cuyos puntos son interiores al ángulo, diremos que está comprendido o abarcado por él.

Propiedades Fundamentales del Ángulo Inscrito

Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que comprende el mismo arco.

La demostración del teorema es inmediata si uno de los dos lados del ángulo inscrito $MAN$ pasa por el centro $O$. En este caso (fig. I), el central $MON$ abarca el mismo arco, es exterior al triángulo isósceles $MOA$, e igual, por tanto, a la suma de los ángulos internos iguales entre sí, uno de los cuales es el ángulo inscrito $MAN$ en cuestión.

Si el centro está en el interior del ángulo (fig. II), este puede considerarse como la suma de dos ángulos inscritos $MAP$ y $PAN$ con un lado diametral común $AP$, mitades respectivas de los centrales $MOP$ y $PON$, cuya suma es, a su vez, el central $MON$ que abarca el mismo arco $MPN$.

Conclusión: Todos los ángulos inscritos en un mismo arco son iguales.

El Triángulo Órtico y sus Propiedades

Las alturas de todo triángulo acutángulo $ABC$ son las bisectrices interiores del triángulo $H_aH_bH_c$, cuyos vértices son los pies de sus alturas. Este triángulo se denomina triángulo órtico del $ABC$.

Demostración de la Propiedad de la Bisectriz Interior

Demostremos, por ejemplo, que el ángulo $\angle H_c H_a A = \angle A H_a H_b$ (en la figura $B = \beta'$):

1. $H_c$ y $H_b$ son vértices de ángulos rectos cuyos lados pasan por $B$ y $C$. Luego, los cuatro puntos $B, H_c, H_b, C$ están en una circunferencia y, por tanto, son iguales los ángulos inscritos en ella: $\alpha = \alpha'$ (2).
2. Análogamente, por ser rectos los ángulos $\angle C H_b H$ y $\angle H H_a C$, los cuatro puntos $C, H_b, H, H_a$ están en otra circunferencia, verificándose $\alpha = \beta$ (3).
3. De la misma manera se prueba que $\alpha' = \beta'$ (4).

Comparando las igualdades (2), (3) y (4) resulta la igualdad inicial (1).

Corolarios del Triángulo Órtico

De lo demostrado se desprende que:

• Los lados de un triángulo acutángulo son las bisectrices exteriores de su triángulo órtico.
• Los vértices de un triángulo son los exincentros de su triángulo órtico.