Propiedades de Límites de Sumas de Funciones al Infinito

Teoremas Fundamentales sobre Límites de Sumas de Funciones al Infinito

Este documento presenta una serie de teoremas fundamentales relacionados con el comportamiento de los límites de sumas de funciones cuando la variable tiende a infinito, tanto positivo como negativo. Cada teorema incluye su respectiva demostración formal, detallando los pasos lógicos y las definiciones clave.

Contexto del documento:

• Tema Principal: Límite con tendencia infinita
• Curso: Sexto Social-Económica
• Asignatura: Matemática I

1. Teorema de la Suma de Límites Finitos (x → +∞)

Si:

• lim_x→+∞ f(x) = l₁

• lim_x→+∞ g(x) = l₂

Entonces:

lim_x→+∞ [f(x) + g(x)] = l₁ + l₂

Demostración:

La definición de límite de una función cuando x tiende a +∞ establece que:

• lim_x→+∞ f(x) = l₁ si para cada ε > 0 existe un H₁ > 0 tal que si x > H₁, entonces f(x) ∈ E(l₁, ε/2). Esto es equivalente a:

  l₁ - ε/2 < f(x) < l₁ + ε/2 (1)

• lim_x→+∞ g(x) = l₂ si para cada ε > 0 existe un H₂ > 0 tal que si x > H₂, entonces g(x) ∈ E(l₂, ε/2). Esto es equivalente a:

  l₂ - ε/2 < g(x) < l₂ + ε/2 (2)

Sea H = max{H₁, H₂}. Entonces, si x > H, se cumplen simultáneamente las desigualdades (1) y (2). Sumando ambas desigualdades, obtenemos que para cada ε > 0 existe un H > 0 tal que si x > H, entonces:

l₁ + l₂ - ε/2 - ε/2 < f(x) + g(x) < l₁ + l₂ + ε/2 + ε/2

Simplificando, tenemos:

l₁ + l₂ - ε < f(x) + g(x) < l₁ + l₂ + ε

De lo cual se deduce que lim_x→+∞ [f(x) + g(x)] = l₁ + l₂.

2. Teorema de la Suma de Límites Finitos (x → -∞)

Si:

• lim_x→-∞ f(x) = l₁

• lim_x→-∞ g(x) = l₂

Entonces:

lim_x→-∞ [f(x) + g(x)] = l₁ + l₂

Demostración:

La definición de límite de una función cuando x tiende a -∞ establece que:

• lim_x→-∞ f(x) = l₁ si para cada ε > 0 existe un H₁ > 0 tal que si x < -H₁, entonces f(x) ∈ E(l₁, ε/2). Esto es equivalente a:

  l₁ - ε/2 < f(x) < l₁ + ε/2 (1)

• lim_x→-∞ g(x) = l₂ si para cada ε > 0 existe un H₂ > 0 tal que si x < -H₂, entonces g(x) ∈ E(l₂, ε/2). Esto es equivalente a:

  l₂ - ε/2 < g(x) < l₂ + ε/2 (2)

Sea H = max{H₁, H₂}. Entonces, si x < -H, se cumplen simultáneamente las desigualdades (1) y (2). Sumando ambas desigualdades, obtenemos que para cada ε > 0 existe un H > 0 tal que si x < -H, entonces:

l₁ + l₂ - ε/2 - ε/2 < f(x) + g(x) < l₁ + l₂ + ε/2 + ε/2

Simplificando, tenemos:

l₁ + l₂ - ε < f(x) + g(x) < l₁ + l₂ + ε

De lo cual se deduce que lim_x→-∞ [f(x) + g(x)] = l₁ + l₂.

3. Teorema de la Suma de Límites Infinitos Positivos (x → +∞)

Si:

• lim_x→+∞ f(x) = +∞

• lim_x→+∞ g(x) = +∞

Entonces:

lim_x→+∞ [f(x) + g(x)] = +∞

Demostración:

La definición de límite infinito cuando x tiende a +∞ establece que:

• lim_x→+∞ f(x) = +∞ si para cada K > 0 existe un H₁ > 0 tal que si x > H₁, entonces f(x) > K/2 (1)

• lim_x→+∞ g(x) = +∞ si para cada K > 0 existe un H₂ > 0 tal que si x > H₂, entonces g(x) > K/2 (2)

Sea H = max{H₁, H₂}. Entonces, si x > H, se cumplen simultáneamente las desigualdades (1) y (2). Sumando ambas desigualdades, obtenemos que para cada K > 0 existe un H > 0 tal que si x > H, entonces:

f(x) + g(x) > K/2 + K/2

Simplificando, tenemos:

f(x) + g(x) > K

De lo cual se deduce que lim_x→+∞ [f(x) + g(x)] = +∞.

4. Teorema de la Suma de Límites Infinitos Negativos (x → +∞)

Si:

• lim_x→+∞ f(x) = -∞

• lim_x→+∞ g(x) = -∞

Entonces:

lim_x→+∞ [f(x) + g(x)] = -∞

Demostración:

La definición de límite infinito negativo cuando x tiende a +∞ establece que:

• lim_x→+∞ f(x) = -∞ si para cada K > 0 existe un H₁ > 0 tal que si x > H₁, entonces f(x) < -K/2 (1)

• lim_x→+∞ g(x) = -∞ si para cada K > 0 existe un H₂ > 0 tal que si x > H₂, entonces g(x) < -K/2 (2)

Sea H = max{H₁, H₂}. Entonces, si x > H, se cumplen simultáneamente las desigualdades (1) y (2). Sumando ambas desigualdades, obtenemos que para cada K > 0 existe un H > 0 tal que si x > H, entonces:

f(x) + g(x) < -K/2 - K/2

Simplificando, tenemos:

f(x) + g(x) < -K

De lo cual se deduce que lim_x→+∞ [f(x) + g(x)] = -∞.

5. Teorema de la Suma de Límites Infinitos Positivos (x → -∞)

Si:

• lim_x→-∞ f(x) = +∞

• lim_x→-∞ g(x) = +∞

Entonces:

lim_x→-∞ [f(x) + g(x)] = +∞

Demostración:

La definición de límite infinito cuando x tiende a -∞ establece que:

• lim_x→-∞ f(x) = +∞ si para cada K > 0 existe un H₁ > 0 tal que si x < -H₁, entonces f(x) > K/2 (1)

• lim_x→-∞ g(x) = +∞ si para cada K > 0 existe un H₂ > 0 tal que si x < -H₂, entonces g(x) > K/2 (2)

Sea H = max{H₁, H₂}. Entonces, si x < -H, se cumplen simultáneamente las desigualdades (1) y (2). Sumando ambas desigualdades, obtenemos que para cada K > 0 existe un H > 0 tal que si x < -H, entonces:

f(x) + g(x) > K/2 + K/2

Simplificando, tenemos:

f(x) + g(x) > K

De lo cual se deduce que lim_x→-∞ [f(x) + g(x)] = +∞.

6. Teorema de la Suma de Límites Infinitos Negativos (x → -∞)

Si:

• lim_x→-∞ f(x) = -∞

• lim_x→-∞ g(x) = -∞

Entonces:

lim_x→-∞ [f(x) + g(x)] = -∞

Demostración:

La definición de límite infinito negativo cuando x tiende a -∞ establece que:

• lim_x→-∞ f(x) = -∞ si para cada K > 0 existe un H₁ > 0 tal que si x < -H₁, entonces f(x) < -K/2 (1)

• lim_x→-∞ g(x) = -∞ si para cada K > 0 existe un H₂ > 0 tal que si x < -H₂, entonces g(x) < -K/2 (2)

Sea H = max{H₁, H₂}. Entonces, si x < -H, se cumplen simultáneamente las desigualdades (1) y (2). Sumando ambas desigualdades, obtenemos que para cada K > 0 existe un H > 0 tal que si x < -H, entonces:

f(x) + g(x) < -K/2 - K/2

Simplificando, tenemos:

f(x) + g(x) < -K

De lo cual se deduce que lim_x→-∞ [f(x) + g(x)] = -∞.