Propiedades matemáticas y matrices: verdadero o falso

Dadas dos funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙), se cumple que 𝒅 𝒅𝒙 (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙) + 𝒅 𝒅𝒙𝒈(𝒙), es decir, la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. Verdadero. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas individuales. [f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x).

Dadas dos funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙), se cumple que 𝒅 𝒅𝒙 (𝒇𝒈)(𝒙) = [ 𝒅 𝒅𝒙 𝒇(𝒙)][ 𝒅 𝒅𝒙𝒈(𝒙)], es decir, la derivada de un producto es igual al producto de las derivadas. Falso. La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma del producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera. [f(x)*g(x)]’ = g(x) * f’(x) + f(x) * g’(x)

La principal ventaja de resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices es que, independientemente de cuál sea el número de ecuaciones, al expresarlo matricialmente, el sistema de ecuaciones se convierte en una única ecuación (matricial). Verdadero. Una de las principales ventajas de resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices es que podemos expresar el sistema de ecuaciones como una única ecuación matricial. Esto nos permite utilizar técnicas de álgebra lineal para resolver el sistema de una forma más eficiente y sencilla.

Si 𝑨 es una matriz conocida, 𝒙 es un vector desconocido y 𝒃 es otro vector conocido, entonces la ecuación matricial 𝑨𝒙 = 𝒃 tiene como solución 𝒙 = 𝒃/𝑨. Falso. AX= b → 𝐴 −1*AX = 𝐴 −1b → IX = 𝐴 −1b. → X = 𝐴 −1b.

Decimos que una matriz es simétrica cuando coincide con su traspuesta. Verdadero. Cuando una matriz es simétrica se cumple que A = A T .

Siempre existe la matriz inversa de una matriz. Falso. La matriz inversa solo existe para matrices cuadradas cuyo determinante sea distinto a cero. Si la matriz no cumple estas condiciones se dice que es singular o no invertible y no tiene matriz inversa.

La matriz inversa de una matriz viene dada por la fórmula 𝑨 −𝟏 = 𝟏 |𝑨| 𝑨𝒅𝒋(𝑨 𝑻 ). Verdadero. 𝐴 −1 = 1 |𝐴| 𝐴𝑑𝑗(𝐴 𝑇 ) = 1 |𝐴| [𝐴𝑑𝑗(𝐴)] 𝑇 . Este resultado es conocido como la propiedad de la matriz adjunta traspuesta, y se cumple para cualquier matriz cuadrada.

El coeficiente 𝜶 siempre tiene una interpretación razonable, sin importar cuál sea el rango de valores esperable en la variable independiente 𝑿. Falso. La interpretación del coeficiente de 𝛼 en un modelo de regresión depende del contexto del problema y de la forma funcional de la relación entre las variables, y no siempre tiene una interpretación razonable o significativa.