Propiedades y Resolución de Matrices: Inversas, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones

Inversas de Matrices

Existencia y Unicidad de la Inversa

Si existen las matrices L y R, inversas por la izquierda y derecha de A respectivamente, entonces dichas inversas coinciden: L = R.

Demostración:

• L = L * I_m = L(AR) = (LA)R = I_n * R = R

Si existen ambas clases de inversas, entonces A es cuadrada. Llamamos B a L y R, entonces:

• BA = I_n
• AB = I_m

Entonces, m = n.

La inversa de una matriz cuadrada A, cuando existe, es única.

Demostración:

• L = R = B
• A * B = I
• B * A = I

Supongamos que existe otra matriz B' inversa de A:

• B' * A = I
• A * B' = I
• (B'A)B = B'I
• IB = B'I
• B = B'

Por lo tanto, B es única y obliga a B' a ser igual que B para ser inversa de A. Entonces, L = R = B = A^-1.

Estructura del Conjunto de Soluciones de un Sistema de Ecuaciones

• Ecuación general: Ax = b
• Ecuación homogénea asociada: Ax = 0
• S_g: Conjunto de soluciones de la ecuación general
• X_o: Solución particular de Ax = b (X_o ∈ S_g)
• S_h: Conjunto de soluciones de la ecuación homogénea

S_g = X_o + S_h si y solo si Ax = b es compatible.

X₁ ∈ S_g ↔ X₁ ∈ X_o + S_h

Demostración:

→) X₁ ∈ S_g → X₁ ∈ X_o + S_h

• AX₁ = b
• AX_o = b
• AX₁ - AX_o = 0
• A(X₁ - X_o) = 0
• X_h = X₁ - X_o ∈ S_h → X₁ = X_o + X_h ∈ X_o + S_h

←) X₁ ∈ X_o + S_h → X₁ ∈ S_g

• Existe X_h ∈ S_h tal que X₁ = X_o + X_h
• AX₁ = A(X_o + X_h) = AX_o + AX_h = b + 0 = b → X₁ ∈ S_g

Descomposición LU y sus Variantes

Si A tiene n pivotes (pivotes en la diagonal principal o elementos de tipo III), entonces:

A = L * U

• L: Matriz triangular inferior con 1's en la diagonal principal y los multiplicadores de Gauss.
• U: Matriz con los pivotes en la diagonal principal.

También se puede expresar como:

A = L * D * L^t

• D: Matriz diagonal con los pivotes.
• L^t: Transpuesta de L (simétrica).

Si A tiene n pivotes positivos:

A = L * D₁ * D₁ * L^t = L * D₁ * (L * D₁)^t = Ch * Ch^t

• D₁: Matriz diagonal con la raíz cuadrada de los pivotes.
• Ch: Matriz de Cholesky.

Nota: Si A tiene descomposición LU, A es regular, pero no todas las matrices regulares tienen descomposición LU.

Determinantes

Teorema 1: Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada A por sus correspondientes adjuntos y se suman los resultados obtenidos, se obtiene el determinante de A.

Teorema 2: Si se multiplican los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada A por los correspondientes elementos de una fila o columna distinta y se suman, el resultado es cero.

Delta de Kronecker:

• δ_ij = 1 si i = j
• δ_ij = 0 si i ≠ j

A * Adj(A) = det(A) * I (A no tiene por qué ser regular).

Matrices Regulares

Teorema 3: Si el determinante de una matriz cuadrada A es distinto de 0, entonces A es regular.

Demostración:

• Sea A una matriz cuadrada con det(A) ≠ 0.
• A * adj(A) = det(A) * I
• A * (adj(A) / det(A)) = I
• A^-1 = (adj(A) / det(A))
• A^-1 = (1 / det(A)) * adj(A)
• Luego, A es regular.

Teorema 4: Si A es una matriz regular, entonces det(A) ≠ 0.

Demostración:

• Si A es regular → AA^-1 = I_n
• det(AA^-1) = det(I_n)
• det(A) * det(A^-1) = 1
• Si el producto de dos números es la unidad, ninguno de ellos puede ser cero.
• Luego, det(A) ≠ 0
• det(A^-1) = 1 / det(A)

Matrices Tridiagonales

Sea D_n una matriz tridiagonal, entonces:

D_n = a * D_n-1 - b * c * D_n-2

De la ley de recurrencia obtenemos la ecuación característica:

x² - a * x + b * c = 0

Cuyas raíces son α y β.

Caso 1: α = β

D_n = C₁ * αⁿ + C₂ * n * α^n-1

Caso 2: α ≠ β

D_n = C₁ * αⁿ + C₂ * βⁿ

Donde C₁ y C₂ se obtienen tras hallar D_n cuando n = 1 y n = 2.