Prueba de Hipótesis para Medias y Varianzas

Ejemplo 1: Tiempo de Televisión en Niños

Un investigador afirma que los niños de 3 a 5 años ven televisión 22 horas a la semana en promedio, con una desviación estándar de 6 horas (distribución normal). Una empresa cree que la media es mayor y toma una muestra de 64 niños, obteniendo una media de 25 horas.

Hipótesis

• **H₀ (nula):** La media es 22 horas (μ = 22).
• **H₁ (alternativa):** La media es mayor a 22 horas (μ > 22).

Estadístico de Prueba

Se utiliza la prueba Z para una muestra:

Z = ( - μ₀) / (σ / √n) = (25 - 22) / (6 / √64) = 4

Regla de Decisión

Con un nivel de significación del 5% (α = 0.05), el valor crítico de Z es 1.645. Como el valor calculado (4) es mayor que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula.

Conclusión

Hay evidencia suficiente para afirmar que los niños ven más de 22 horas de televisión a la semana en promedio.

Ejemplo 2: Comparación de Ventas de Productos

Se comparan las ventas de un producto de dos fabricantes (A y B) en diferentes tiendas.

Hipótesis para Varianzas

• **H₀ (nula):** Las varianzas son iguales (σ₁² = σ₂²).
• **H₁ (alternativa):** Las varianzas son diferentes (σ₁² ≠ σ₂²).

Estadístico de Prueba

Se utiliza la prueba F para comparar varianzas:

F = s₁² / s₂² = 1712.7² / 3875.3² = 0.1953

Regla de Decisión

Con α = 0.05 y grados de libertad (9, 10), los valores críticos de F son 0.2646 y 3.964. El valor calculado (0.1953) cae fuera de este rango, por lo que se rechaza la hipótesis nula.

Conclusión

Las varianzas de las ventas de los dos productos son diferentes.

Hipótesis para Medias

• **H₀ (nula):** Las medias son iguales (μ₁ = μ₂).
• **H₁ (alternativa):** Las medias son diferentes (μ₁ ≠ μ₂).

Estadístico de Prueba

Se utiliza la prueba T para muestras independientes:

T = (₁ - ₂) / √(S_p² (1/n₁ + 1/n₂)) = (32600 - 38727.3) / √(9293661.71 (1/10 + 1/11)) = -4.6

Regla de Decisión

Con α = 0.05 y 19 grados de libertad, el valor crítico de T es 1.7291. El valor calculado (-4.6) es menor que el valor crítico, por lo que se rechaza la hipótesis nula.

Conclusión

Las medias de ventas de los dos productos son diferentes. El producto A tiene una media de ventas menor que el producto B.