Reglas y criterios de convergencia de series: Guía completa
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Operaciones con Infinito
0/k = 0 , k/∞ = 0 , 0/∞ = 0 , k/0 = ∞ , ∞/k = ∞ , ∞/0 = ∞
0k ( ∞ si k > 1, 0 si 0 < k < 1) , k∞ ( ∞ si k > 1, 0 si 0 < k < 1)
+/- (∞) = ∞ , -/+ (∞) = 0.
Vector Gradiente
Si z = f(x,y) es una función de 2 variables que admite derivadas parciales en un punto (a,b), su vector gradiente ∇f en (a,b) es:
(df/dx (a,b) , df/dy (a,b)). El gradiente en un punto es perpendicular a las curvas de nivel en ese mismo punto.
Plano Tangente
Sea f(x,y) una función diferenciable en un punto (a,b) ∈ R2. El plano tangente a la superficie es el plano que tiene por ecuación: Z = f(a,b) + df/dx(a,b)(x-a) + df/dy(a,b)(y-b)
Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)
- Sea f integrable en [a,b] y sea F(x) = ∫f(t)dt entre a y x.
- Si f es continua en un punto c ∈ (a,b) => F es derivable en c y F'(c) = f(c).
- Si f es continua en [a,b], entonces F es una primitiva de f, es decir, F es continua en [a,b], derivable en (a,b) y F' = f en (a,b).
Regla de Barrow
f:[a,b] -> R es continua si G es una primitiva de f, es decir, G'(x) = f(x) => ∫f(t)dt entre a y b = G(b) - G(a).
Función Gamma
Γ(x) = ∫t(x-1)e-t entre 0 y ∞.
Γ(x+1) = xΓ(x).
Regla del Sandwich
- Si an ≤ bn ≤ cn para todo n ∈ N y lim an = lim cn ∈ R, entonces bn converge al mismo límite que an y cn.
Si an ≤ bn para todo n ∈ N y lim an = ∞... -∞...
Criterio del Mayorante y del Minorante
Si Σan es convergente y Σan ≥ Σbn -> Σbn es convergente.
Criterio de Comparación por Cociente
Sean las series de términos positivos Σan y Σbn donde conocemos el carácter de Σbn. Calculamos el lim n>∞ an/bn = k.
- Si k es distinto de 0 las series tienen el mismo carácter.
- Si k = 0 y Σbn converge entonces Σan converge.
Criterio de D'Alembert o del Cociente
Sea la serie de términos positivos Σan. Si se cumple que lim n>∞ a(n+1)/an = l con l < 1 la serie es convergente. Si l > 1 la serie es divergente y si l = 1 es un caso dudoso.
Criterio de Cauchy o de la Raíz
Sea la serie de términos positivos Σan. Si se cumple que lim raíz n-ésima de an = l con l < 1 será convergente. Si l > 1 divergente y l = 1 caso dudoso.
Serie Alternada
Σan si an a(n+1) ≤ 0 para todo n. La forma más común de escribir las series alternadas es Σ(-1)n cn donde cn ≥ 0 para todo n.
Criterio de Leibniz
Si Σan es una serie alternada que verifica: i) lim an = 0 ii) |a(n+1)| ≤ |an| para todo n ∈ N entonces la serie converge.