Relaciones entre las Distribuciones Hipergeométrica, Binomial y de Poisson

Relaciones entre Distribuciones de Probabilidad

Relación entre la Distribución Hipergeométrica y Binomial

Cuando el tamaño de la población N es bastante grande comparado con el tamaño de la muestra n, se considera que la distribución Binomial es una aproximación adecuada para resolver una distribución Hipergeométrica. En general, puede mostrarse que si n y por lo tanto r es muy pequeño comparado con N₁ y N₂, entonces: si se toma una muestra muy pequeña de una población muy grande, entonces la falta de reemplazo (Distribución Hipergeométrica) y el reemplazo (Distribución Binomial) dan resultados aproximadamente idénticos.

Relación entre la Distribución Binomial y de Poisson

Cuando el número de pruebas n es grande y por otra parte p es pequeña, las Distribuciones de Poisson y Binomial se relacionan de la siguiente manera: en donde los términos binomiales individuales se reemplazan por los correspondientes términos de Poisson con λ=n.p. Cuando encontramos conveniente aproximar la Binomial por Poisson, debemos estar seguros de saber lo que se entiende por n grande y p pequeña (n>100 y p<0,01).

Distribución de Poisson

Existen eventos que no se representan como resultado de repetir una prueba n veces, sino que ocurren en puntos aleatorios de tiempo, espacio o superficie. μ denota el número promedio de ocurrencias del evento por unidad de tiempo, espacio o volumen y es siempre un valor constante positivo. La tasa media de ocurrencias del evento en un intervalo de tiempo es constante, se denota con λ=μΔ donde Δ es el intervalo de tiempo o espacial (λ>0). Definiendo la variable aleatoria X que indica el número de eventos que ocurre en un intervalo de tiempo, se puede probar que X asume el valor r con r=0,1,2,3,... En este modelo el único parámetro es λ, con la notación X es POI(λ) se indica que la variable aleatoria X es de Poisson con parámetro λ.

Esperanza Matemática y Varianza

Esperanza Matemática: E(x)=λ.

Varianza: D²(x)=λ.

Supuestos de la Distribución de Poisson

1. El número de eventos que ocurre en un intervalo de tiempo es independiente del número de eventos que ocurre en otro intervalo disjunto.
2. La distribución de probabilidad depende solo de la longitud de los intervalos y no del origen de los mismos.
3. La probabilidad de que ocurra un evento en un intervalo muy corto es directamente proporcional a la longitud del intervalo.