Repaso Completo de Límites, Teoremas, Derivadas e Integrales

Límites, Teoremas, Derivadas e Integrales: Un Resumen Completo

Límites

Límite: 1 elevado a infinito: e^{lim x → nº} que te da (f(x)-1)(g(x))

Teoremas de Funciones Continuas

• Teorema de Bolzano: Si f(x) es continua en (a,b) y el signo de f(a) no es igual al signo de f(b), existe un 'a' en (a,b) tal que f(a)=0.
• Teorema de Weierstrass: Si f(x) es continua en (a,b), entonces f(x) alcanza un máximo y un mínimo en (a,b).
• Teorema de Darboux: Si una función es continua en (a,b), f(x) alcanza todo valor comprendido entre f(a) y f(b).

Derivadas

Definición: f'(a)= lim h→0 [f(a+h)-f(a)]/h

Tangente y Normal a una Curva

Ecuación de la tangente: y-y₁=m (x-x₁)

• x₁= al número que nos dan.
• y₁= se calcula en f(x₁).
• m= con la derivada de la función y usando x₁.

Para hallar la normal: Se usa la misma ecuación, pero la pendiente es m₂= -1/m₁. x₁ e y₁ son iguales.

Las potenciales-exponenciales se hacen con ln(y)= exponente * ln(f(x))

Teoremas del Valor Medio

• Teorema de Rolle: Si f(x) es continua en (a,b), derivable en (a,b) y f(a)= f(b), entonces existe un 'a' en (a,b) tal que f'(a)=0.
• Teorema de Cauchy: Si f(x) y g(x) son continuas en (a,b) y derivables en (a,b), entonces [f(b)-f(a)]/ [g(b)-g(a)]= f''(c)/g''(c).
• Teorema de Lagrange: Si f(x) es continua en (a,b) y derivable en (a,b), existe un 'a' en (a,b) tal que f''(c)= [f(b)-f(a)]/ (b-a).

Tabla de Derivadas

• 1/x= -1/x²
• √x= 1/ (2√x)
• a^u= a^u* ln(a)* u'
• ln(x)= 1/x
• log_a(x)= 1/ (x*ln(a))
• sen(x)= cos(x)
• cos(x)= -sen(x)
• tan(x)= 1/cos²(x) = 1+tan²(x) = sec²(x)
• cotg(x)= -1/sen²(x) = -1-cotg²(x)
• sec(x)= tan(x)*sec(x)
• cosec(x)= -cotg(x)*cosec(x)
• arcsen(x) = 1/√(1-x²)
• arccos(x)= -1/√(1-x²)
• arctan(x)= 1/(1+x²)
• arccotg(x)= -1/(1+x²)

Integrales

Integrales Indefinidas

• Potenciales: ∫ uⁿ * u' dx= uⁿ⁺¹/(n+1) + C
• Logarítmicas: ∫ u'/u dx= ln(u)+ C
• Exponenciales: ∫ e^u*u' dx= e^u+C; ∫ a^u* u' dx= a^u/ln(a) + C
• Por Partes: ∫ u*dv= u*v – ∫ v*du (la 'u' se deriva a 'du', y la 'dv' se integra a 'v')
• Seno y Coseno: ∫ u'sen(u)dx= -cos(u)+C; ∫ u'cos(u)dx= sen(u) + C
• Tangente: ∫ u'/cos²(u) dx= tan(u)+ C
• Arcotangente: ∫ u'/[1+(u)²] dx= arctan(u) + C
• Arcoseno y Arcocoseno: ∫ u'/√(1-(u)²) dx= arcsen(u) + C o -arccos(u) + C

Integrales Racionales

Si el grado del numerador es igual o mayor que el del denominador, hay que dividir: P(X)/Q(X)= ∫ Cociente(x) dx + ∫ Resto(x)/Q(x) dx. Si el numerador es menor que el denominador, se descompone en factores el denominador con A, B...

Identidades Trigonométricas: cos(2x)= cos²(x) - sen²(x); sen(2x)= 2sen(x)*cos(x)

Integrales Definidas

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a). Ejemplo: ∫₀¹ (x+3)dx= [x²/2+3x]₀¹ = (1²/2+3*1) - (0²/2+3*0)