Representación de Funciones y Cálculo de Derivadas Paso a Paso

Estudio de las Asíntotas de una Función

En un ejercicio de representar una función, primero se calculan sus asíntotas:

• Asíntotas verticales: Se determinan mediante el cálculo de los límites laterales, igualando el denominador a 0.
• Asíntotas horizontales y oblicuas: Es importante recordar que si existe una asíntota horizontal, no habrá oblicua, y viceversa.

Cálculo de Asíntotas Oblicuas

Para hallar las asíntotas oblicuas, se divide el numerador entre el denominador. El cociente resultante se establece como la ecuación de la asíntota. El término formado por el resto partido del denominador nos indica el signo de la función respecto a la asíntota.

Con este último elemento, se analiza el comportamiento cuando x tiende a infinito (se toma un número muy grande, por ejemplo, 100) y cuando x tiende a menos infinito (el mismo número con signo negativo). Cada valor se sustituye en la expresión del signo para determinar si la gráfica está por debajo o por encima de la asíntota. Finalmente, se le dan valores a la recta obtenida en las asíntotas oblicuas y se procede a su representación gráfica.

Aplicaciones de la Derivada

1. Estudio de la función f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2

• a) Hallar la derivada de la función en los puntos -1, 0, 2 y 4: Primero se realiza la derivada de la función y, posteriormente, se sustituye la x por cada uno de los puntos indicados.
• b) Hallar la recta tangente en el punto de abscisa x = 2: Se calcula la derivada en el punto 2 y el valor de la función original (sin derivar) en el punto 2. Se obtiene la ecuación de la recta y = mx + n, donde el resultado de la función sin derivar en el punto 2 es la n y el resultado de la derivada en el punto 2 es la m (pendiente).
• c) Averiguar las abscisas de los posibles máximos y mínimos relativos: Se iguala la derivada a 0. Los valores de x resultantes son los puntos singulares donde puede existir un máximo o un mínimo.
• d) Crecimiento y decrecimiento en x = 4: Se sustituye el valor en la derivada. Si el resultado es > 0, la función es creciente; si es < 0, la función decrece.

2. Representar la función polinómica: y = x³ - 3x² + 4

1. Ramas infinitas: Se estudia el comportamiento de la función cuando x → -∞ y x → +∞, analizando si los resultados tienden a más o menos infinito.
2. Puntos singulares: Se calcula la derivada y se iguala a 0, obteniendo dos valores de x distintos. El resultado de estas x se sustituye en la función original (sin derivar) para hallar las coordenadas de los puntos singulares (ejemplo: x₁ = 0 → f(0) = 4; x₂ = 2 → f(2) = 0; los puntos singulares son (0,4) y (2,0)).
3. Corte con los ejes: Se resuelve f(x) = 0. Los valores obtenidos se sustituyen en la función original para determinar los puntos de corte exactos.
4. Representación: Se integran todos los datos anteriores para dibujar la gráfica.

Tabla de Derivadas Fundamentales

• Derivada de la tangente: D(tg x) = 1 / cos²x
• Derivada del arcoseno: D(arcsen x) = 1 / √(1 - x²)
• Derivada del arcocoseno: D(arccos x) = -1 / √(1 - x²)
• Derivada de la arcotangente: D(arctg x) = 1 / (1 + x²)
• Derivada de la función exponencial: D(aˣ) = aˣ · ln(a)
• Derivada del logaritmo neperiano: D(ln x) = 1 / x
• Derivada del logaritmo en base a: D(logₐ x) = (1 / x) · (1 / ln a)