Resolución Detallada de Problemas de Dilatación Térmica y Transferencia de Calor

Introducción a la Termodinámica: Ejercicios Resueltos

Este documento presenta la resolución detallada de cuatro problemas fundamentales en el campo de la termodinámica, abarcando conceptos clave como la dilatación térmica (lineal y volumétrica), la transferencia de calor y el equilibrio térmico. Cada ejercicio está diseñado para ilustrar la aplicación de principios físicos y fórmulas esenciales, proporcionando una comprensión clara de los cálculos involucrados en fenómenos cotidianos y de ingeniería.

1. Dilatación Lineal: Cálculo de la Variación de Longitud en un Puente de Acero

Este problema explora cómo la temperatura afecta la longitud de una estructura metálica, aplicando el principio de dilatación lineal.

Problema Planteado

La longitud inicial de un puente de acero es de 300 m a 0 °C. Calcular la diferencia entre sus longitudes en un día de invierno con temperatura de -10 °C y en un día de verano con una temperatura de 40 °C.

Datos

• Longitud inicial del puente (L_i): 300 m
• Temperatura inicial (T_i): 0 °C
• Coeficiente de dilatación lineal del acero (α): 12 × 10^-6 °C^-1

Fórmula de Dilatación Lineal

La longitud final (L_f) de un material después de un cambio de temperatura (ΔT) se calcula mediante la siguiente expresión:

Lf = Li + Li × α × ΔT

Donde ΔT = Tf - Ti.

Cálculos

Caso 1: Día de Invierno (-10 °C)

• Temperatura final (T_f): -10 °C
• Cambio de temperatura (ΔT): -10 °C - 0 °C = -10 °C

Lf_invierno = 300 m + (300 m × 12 × 10-6 °C-1 × (-10 °C))

Lf_invierno = 300 m - 0.036 m

Lf_invierno = 299.964 m

Caso 2: Día de Verano (40 °C)

• Temperatura final (T_f): 40 °C
• Cambio de temperatura (ΔT): 40 °C - 0 °C = 40 °C

Lf_verano = 300 m + (300 m × 12 × 10-6 °C-1 × 40 °C)

Lf_verano = 300 m + 0.144 m

Lf_verano = 300.144 m

Resultado

La diferencia entre las longitudes en un día de verano y un día de invierno es:

Diferencia = Lf_verano - Lf_invierno

Diferencia = 300.144 m - 299.964 m

Diferencia = 0.180 m

2. Dilatación Volumétrica: Derrame de Aceite en un Recipiente de Vidrio

Este problema aborda la dilatación volumétrica de líquidos y sólidos, calculando el volumen de un líquido derramado debido a un aumento de temperatura.

Problema Planteado

Un recipiente de vidrio de 100 cm³ de capacidad está lleno de un aceite con un coeficiente de dilatación cúbica de 100 × 10^-5 °C^-1 cuando la temperatura es de 18 °C. Si la temperatura se eleva a 48 °C, se pide:

1. ¿Cuánto aceite se derrama, considerando que la dilatación cúbica del vidrio es 3.0 × 10^-5 °C^-1?
2. Si no se considera la dilatación del vidrio, ¿qué porcentaje de error se comete?

Datos

• Volumen inicial (V_i): 100 cm³
• Temperatura inicial (T_i): 18 °C
• Temperatura final (T_f): 48 °C
• Coeficiente de dilatación volumétrica del aceite (β_aceite): 100 × 10^-5 °C^-1
• Coeficiente de dilatación volumétrica del vidrio (β_vidrio): 3.0 × 10^-5 °C^-1

Fórmula de Dilatación Volumétrica

El volumen final (V_f) de un material después de un cambio de temperatura (ΔT) se calcula como:

Vf = Vi + Vi × β × ΔT

Donde ΔT = Tf - Ti.

Cálculos

Cambio de temperatura (ΔT): 48 °C - 18 °C = 30 °C

Volumen final del Aceite

Vf_aceite = 100 cm3 + (100 cm3 × 100 × 10-5 °C-1 × 30 °C)

Vf_aceite = 100 cm3 + 3.0 cm3

Vf_aceite = 103.0 cm3

Volumen final del Vidrio

Vf_vidrio = 100 cm3 + (100 cm3 × 3.0 × 10-5 °C-1 × 30 °C)

Vf_vidrio = 100 cm3 + 0.09 cm3

Vf_vidrio = 100.09 cm3

Respuestas

Respuesta 1: Volumen de Aceite Derramado

El volumen de aceite derramado es la diferencia entre el volumen final del aceite y el volumen final del recipiente de vidrio:

Volumen derramado = Vf_aceite - Vf_vidrio

Volumen derramado = 103.0 cm3 - 100.09 cm3

Volumen derramado = 2.91 cm3

Respuesta 2: Porcentaje de Error al No Considerar la Dilatación del Vidrio

Si no se considera la dilatación del vidrio, el volumen derramado sería simplemente el aumento de volumen del aceite, asumiendo que el recipiente mantiene su volumen inicial de 100 cm³.

Volumen derramado (sin considerar dilatación del vidrio) = Vf_aceite - Vi = 103.0 cm3 - 100 cm3 = 3.0 cm3

El error absoluto es la diferencia entre el volumen derramado ideal (sin dilatación del vidrio) y el volumen derramado real (considerando dilatación del vidrio):

Error absoluto = 3.0 cm3 - 2.91 cm3 = 0.09 cm3

El porcentaje de error se calcula respecto al valor ideal (3.0 cm³):

Porcentaje de error = (Error absoluto / Volumen derramado ideal) × 100%

Porcentaje de error = (0.09 cm3 / 3.0 cm3) × 100%

Porcentaje de error = 0.03 × 100%

Porcentaje de error = 3%

3. Transferencia de Calor: Cálculo de Energía para Calentar Agua

Este problema se centra en la cantidad de energía térmica necesaria para elevar la temperatura de una masa de agua, expresada en kilovatios-hora (kWh).

Problema Planteado

Se desea calentar 100 L de agua desde 15 °C hasta 35 °C. Si no se consideran pérdidas de calor, ¿cuántos kWh se requieren para esta operación?

Datos

• Volumen de agua: 100 L
• Masa de agua (m): 100 L × 1000 g/L = 100 000 g (asumiendo densidad del agua de 1 g/cm³ o 1 kg/L)
• Temperatura inicial (T_i): 15 °C
• Temperatura final (T_f): 35 °C
• Calor específico del agua (C): 1 cal/(g °C)

Fórmula de Transferencia de Calor

La cantidad de calor (ΔQ) necesaria para cambiar la temperatura de una sustancia se calcula como:

ΔQ = m × C × ΔT

Donde ΔT = Tf - Ti.

Cálculos

Cambio de temperatura (ΔT): 35 °C - 15 °C = 20 °C

Calor Requerido en Calorías

ΔQ = 100 000 g × 1 cal/(g °C) × 20 °C

ΔQ = 2 000 000 cal

Conversión de Calorías a Joules

Sabiendo que 1 cal = 4.19 J:

Energía en Joules = 2 000 000 cal × 4.19 J/cal

Energía en Joules = 8 380 000 J

Conversión de Joules a Kilovatios-hora (kWh)

Sabiendo que 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J:

Energía en kWh = 8 380 000 J / (3.6 × 106 J/kWh)

Energía en kWh = 2.3277 kWh

Corrección Importante: Se ha corregido un error numérico en la conversión de calorías a Joules. La equivalencia correcta es 1 cal = 4.19 J. Por lo tanto, 2 000 000 cal equivalen a 8 380 000 J, no a 838 000 000 J como se indicaba originalmente. Esta corrección afecta directamente el valor final en kWh.

4. Calorimetría: Determinación del Calor Específico de una Sustancia

Este problema aplica el principio de equilibrio térmico en un calorímetro para determinar el calor específico de una sustancia desconocida.

Problema Planteado

Una muestra de 100 g de una cierta sustancia, que está a 100 °C, se deja caer dentro de un calorímetro de cobre de masa 300 g que contiene 200 g de agua a 13 °C. Al alcanzar el equilibrio, la temperatura del conjunto sube hasta 18 °C. Determine el calor específico de la muestra.

Datos

• Masa de la muestra (m_muestra): 100 g
• Temperatura inicial de la muestra (T_{i_muestra}): 100 °C
• Masa del calorímetro de cobre (m_Cu): 300 g
• Masa del agua (m_H2O): 200 g
• Temperatura inicial del calorímetro y el agua (T_{i_Cu, H2O}): 13 °C
• Temperatura final de equilibrio (T_f): 18 °C
• Calor específico del cobre (C_Cu): 0.092 cal/(g °C)
• Calor específico del agua (C_H2O): 1.0 cal/(g °C)

Principio de Calorimetría

En un sistema aislado, el calor cedido por los cuerpos más calientes es igual al calor absorbido por los cuerpos más fríos hasta que se alcanza el equilibrio térmico.

Qcedido = Qabsorbido

Donde Q = m × C × ΔT.

Cálculos

La muestra cede calor, mientras que el calorímetro de cobre y el agua absorben calor.

Calor Cedido por la Muestra (Q_cedido)

Qcedido = mmuestra × Cmuestra × (Tf - Ti_muestra)

Qcedido = 100 g × Cmuestra × (18 °C - 100 °C)

Qcedido = 100 g × Cmuestra × (-82 °C)

Qcedido = -8200 × Cmuestra (g °C)

Calor Absorbido por el Cobre (Q_Cu)

QCu = mCu × CCu × (Tf - Ti_Cu, H2O)

QCu = 300 g × 0.092 cal/(g °C) × (18 °C - 13 °C)

QCu = 300 g × 0.092 cal/(g °C) × 5 °C

QCu = 138 cal

Calor Absorbido por el Agua (Q_H2O)

QH2O = mH2O × CH2O × (Tf - Ti_Cu, H2O)

QH2O = 200 g × 1.0 cal/(g °C) × (18 °C - 13 °C)

QH2O = 200 g × 1.0 cal/(g °C) × 5 °C

QH2O = 1000 cal

Aplicación del Principio de Calorimetría

-Qcedido = QCu + QH2O (Se utiliza el negativo de Q_cedido para que sea un valor positivo de calor absorbido por el sistema frío)

-(-8200 × Cmuestra) = 138 cal + 1000 cal

8200 × Cmuestra = 1138 cal

Determinación del Calor Específico de la Muestra

Cmuestra = 1138 cal / 8200 (g °C)

Cmuestra = 0.13878 cal/(g °C)

Este valor puede expresarse también como:

Cmuestra ≈ 138.78 × 10-3 cal/(g °C)

Conclusión

A través de la resolución de estos problemas, hemos aplicado los principios fundamentales de la dilatación térmica y la calorimetría. Estos ejercicios demuestran la importancia de comprender cómo la energía y la temperatura afectan las propiedades de los materiales, lo cual es crucial en diversas aplicaciones científicas y de ingeniería.