Métodos y Aplicaciones en Ecuaciones Diferenciales

Este documento presenta un resumen de los métodos clave para la resolución de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones prácticas.

1. Solución por Sustitución (Ecuaciones Homogéneas)

Este método se aplica a ecuaciones diferenciales homogéneas. Se sustituyen x e y por tx y ty, respectivamente, para verificar la homogeneidad. En la práctica, se realiza la sustitución y = xu y dy = udx + xdu.

• Ejemplo: (y^2 + yx)dx + x^2 dy = 0
• Paso 1: Sustituir y = xu y dy = udx + xdu en la ecuación original:

  (x^2u^2 + x^2u)dx + x^2(udx + xdu) = 0

• Paso 2: Agrupar términos y simplificar:

  (x^2u^2 + 2x^2u)dx + x^3du = 0

• Paso 3: Separar las variables u y x para integrar:

  ∫ du / (u(u+2)) = - ∫ 1/x dx

• Paso 4: Resolver la integral de u usando fracciones parciales:

  ∫ (1/(2u) - 1/(2(u+2)))du = -ln|x| + C_0

• Paso 5: Integrar y simplificar:

  1/2 {ln|u| - ln|u+2|} = -ln|x| + C_0

2. Ecuaciones Homogéneas de Grado α

Este método es similar a la solución por sustitución, pero se utiliza la sustitución x = vy y dx = vdy + ydv.

• Ejemplo: (x^2 + 2y^2)dx/dy = xy; con la condición inicial y(-1) = 1. (Nota: 'alpha=^ de t' parece una nota personal y no una parte formal del método, se mantiene sin corrección de significado).
• Paso 1: Sustituir x = vy y dx = vdy + ydv:

  (v^2y^2 + 2y^2)(vdy + ydv) - vy^2dy = 0

• Paso 2: Después de simplificar, se llega a:

  (v^3y^2 + vy^2)dy + (v^2y^3 + 2y^3)dv = 0

• Paso 3: Reorganizar y separar variables:

  y^2v(v^2 + 1)dy = -y^3(v^2 + 2)dv

  (y^2/y^3) dy = -(v^2 + 2)/(v(v^2 + 1)) dv

• Paso 4: Integrar ambos lados. Para la integral de dv, se usa descomposición en fracciones parciales:

  (A/v) + (Bv + C)/(v^2 + 1)

• Paso 5: Multiplicar cruzado y resolver para las constantes (por ejemplo, para v=0, se obtiene A=2, y se despejan las demás constantes).

3. Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli se transforma en una ecuación lineal mediante la sustitución u = y^(1-n).

• Ejemplo: 3(1+x^2)dy/dx = 2xy(y^3-1)
• Paso 1: Reorganizar la ecuación a la forma estándar de Bernoulli y identificar n. En este caso, n es el exponente de y.
• Paso 2: Aplicar la sustitución u = y^(1-n). Despejar y en términos de u (en este ejemplo, y = u^(-1/3)).
• Paso 3: Derivar y con respecto a x y sustituir en la ecuación original.
• Paso 4: Después de dos pasos, se obtiene una ecuación de la forma:

  u^(-4/3) du/dx + (2x/(1+x^2)) u^(-1/3) = ... (el lado derecho de la ecuación original, ajustado).

• Paso 5: Dividir toda la ecuación por u^(-4/3) para obtener una ecuación lineal en u.
• Paso 6: Calcular el factor integrante e^(∫ P(x) dx). Por ejemplo:

  e^(-ln(1+x^2)^-1) = 1/(1+x^2)

• Paso 7: Integrar la expresión resultante, que es de la forma d/dx(factor_integrante * u) = Q(x).

4. Ley de Enfriamiento de Newton

Esta ley describe cómo la temperatura de un objeto cambia con el tiempo en función de la temperatura ambiente.

• Ecuación: dT/dt = K(T - T_m), con la condición inicial T(0) = T_0.
• Paso 1: Integrar la ecuación diferencial. Después de dos pasos, se obtiene:

  ln|T - T_m| = Kt + C_0

• Paso 2: Despejar T para obtener la solución general:

  T = T_m + Ce^(Kt)

• Paso 3: Utilizar los valores de temperatura proporcionados para resolver las constantes C y K.
• Paso 4: Dividir las expresiones Ce^(Kt) y los resultados del paso anterior.
• Paso 5: Convertir la exponencial a logaritmo natural (ln) para despejar K.
• Paso 6: Usar la ecuación T = T_m + Ce^(Kt) y una condición inicial (ej. Ce^K = T(1)) para despejar C.
• Paso 7: Obtener la función final T(t) = T_m + Ce^(Kt).

5. Problemas de Sal en el Agua (Mezclas)

Estos problemas modelan la cantidad de una sustancia (como sal) en un tanque a lo largo del tiempo.

• Tasa de Entrada (Rate_in): Se calcula como (libras/galón) * (galones/minuto).
• Tasa de Salida (Rate_out): Se calcula como (A libras/galón o V) * (galones/minuto), donde A es la cantidad de sal y V es el volumen del tanque.
• Ecuación Diferencial: dA/dt = Rate_in - Rate_out.
• Paso 1: Despejar dt.
• Paso 2: Integrar la ecuación, lo que a menudo implica un logaritmo natural:

  - (1/coeficiente_de_A) ln|Rate_in - Rate_out| = t + C_0

• Paso 3: Definir una nueva constante C_1 = -C_0 / coeficiente_de_A.
• Paso 4: Despejar la expresión del logaritmo y luego convertir a una exponencial de la forma e^(t + C_0).

6. Tasa de Cambio (Crecimiento/Decaimiento Poblacional)

Este modelo describe el crecimiento o decaimiento exponencial de una cantidad, como una población.

• Ecuación: dP/dt = KP
• Paso 1: Integrar la ecuación diferencial:

  ∫ dP/P = ∫ K dt

  ln|P| = Kt + C_0

• Paso 2: Despejar P:

  P = e^(Kt + C_0)

• Paso 3: Separar la exponencial y definir C = e^(C_0) para obtener la solución general:

  P = Ce^(Kt)

• Paso 4: Para encontrar K, se utilizan dos valores de P en diferentes tiempos. Se dividen las expresiones P y sus correspondientes Ce^(Kt), lo que permite despejar K usando logaritmos naturales.
• Paso 5: Utilizar la ecuación P(t) = Ce^(Kt) para calcular la población en un tiempo dado.
• Ejemplo: Si C = 400 y K = 3ln(5/7), entonces:

  P(t) = Ce^(3ln(5/7)t) = Ce^(ln((5/7)^(3t))) = C(5/7)^(3t)

  Si t=1, P(1) = 400 * (5/7)^3.