Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones: Métodos y Procedimientos

Tipos de Ecuaciones y sus Métodos de Resolución

Todas se tienen que comprobar, menos las logarítmicas, radicales y racionales.

Ecuaciones de Segundo Grado

• Incompletas (sin término independiente 'c'): Se saca factor común 'x' y se iguala a 0.
• Incompletas (sin término lineal 'b'): Se despeja la 'x'.

Ecuaciones Bicuadradas

1. Se realiza un cambio de variable (por ejemplo, t = x²).
2. Se resuelve la ecuación de segundo grado resultante.
3. Se deshace el cambio de variable. (Puede haber hasta 4 soluciones; si 't' es negativa, solo habrá 2).

Ecuaciones Racionales (Fracciones)

1. Se calcula el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.
2. Se iguala el numerador a cero.
3. Se resuelve la ecuación de segundo grado resultante.
4. Se comprueban las soluciones en la ecuación original.

Ecuaciones Radicales (Raíces)

1. Se aísla la raíz en uno de los lados de la ecuación.
2. Se eleva al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz.
3. Se resuelve la ecuación de segundo grado resultante.
4. Se comprueban las soluciones en la ecuación original.

Ecuaciones Exponenciales (la incógnita en el exponente)

• Caso 1: Se aplican las propiedades de las potencias para obtener la misma base en ambos lados de la ecuación. Se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación resultante.
• Caso 2: (Expresión igual a otra expresión sin suma) Se aplican logaritmos y se utilizan sus propiedades.
• Caso 3: (Suma de potencias)
  1. Se aplican las propiedades de las potencias para tener la base elevada a 'x'.
  2. Se aplica un cambio de variable (por ejemplo, t = a^x).
  3. Se resuelve la ecuación resultante y se deshace el cambio de variable.

Ecuaciones Logarítmicas (la incógnita en un logaritmo)

Se deben considerar diferentes casos según la estructura de la ecuación.

Ecuaciones de un Producto de Varios Factores Igual a Cero

1. Se iguala cada factor a cero.
2. Se resuelve cada ecuación por separado (probablemente ecuaciones de segundo grado).

Ecuaciones de Tercer Grado

• Completa: Se aplica la regla de Ruffini y luego la fórmula de la ecuación de segundo grado.
• Incompleta: Se despeja la 'x' o se saca factor común 'x' (las raíces pueden ser negativas).

Sistemas de Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Método de Sustitución:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación.
3. Se resuelve la ecuación resultante para obtener el valor de una incógnita.
4. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en la ecuación despejada.

Sistemas con Radicales

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión en la otra ecuación.
3. Se separan los términos con raíz de los términos sin raíz.
4. Se eleva al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz.
5. Si 'x' es igual a una expresión, se continúa resolviendo.
6. Se comprueban las soluciones en el sistema original.

Sistemas con Racionales

1. Se calcula el mcm de los denominadores de la primera ecuación.
2. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
3. Se sustituye la expresión en la otra ecuación.
4. Se calcula el mcm de los denominadores de la ecuación resultante.
5. Se resuelve la ecuación de segundo grado resultante.
6. Se sustituye el valor obtenido en la ecuación despejada para obtener el valor de la otra incógnita.
7. Se comprueban las soluciones en el sistema original.

Inecuaciones

Inecuaciones de Primer Grado

1. Se resuelve la inecuación como si fuera una ecuación.
2. Se representa la solución en la recta real. / Con denominadores:
   1. Se calcula el mcm.
   2. Se despeja la incógnita.
   3. Se representa la solución en la recta real.

Inecuaciones de Segundo Grado

1. Se iguala la inecuación a cero.
2. Se resuelve la ecuación de segundo grado resultante.
3. Se representa la solución en la recta real.
4. Se sustituyen valores de cada intervalo en la inecuación original para determinar el signo de cada intervalo.

Sistemas de Inecuaciones

Se resuelve cada inecuación por separado y luego se intersecan las soluciones.