Resolución de Ecuaciones Lineales, Trigonometría y Funciones: Métodos y Ejemplos

Número de Soluciones de las Ecuaciones Lineales

1) Rectas que se cortan. Sistema con una solución. Sistema compatible determinado (SCD)
2) Rectas paralelas. Sin solución. Sistema incompatible (SI)
3) Rectas coincidentes. Infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado (SCI)

Resolución por Igualación

1) Poner el sistema en forma canónica.

Ejemplo:
3 (x + y) = 5y - 7 -----> 3x + 3y - 5y = -7 --------> 3x - 2y = -7
2x - 6y = 4x + 8 -----> -2x - 6y = 8 --------> -2x + 6y = 8

2) Despejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones.

3x - 2y = -7 ---> 3x = -7 + 2y ---> x = (-7 + 2y) / 3
-2x - 6y = 8 ----> -2x = 8 + 6y ---> x = (8 + 6y) / -2 = -4 - 3y

3) Igualamos las dos expresiones

(-7 + 2y) / 3 = -4 - 3y

4) Resolver la ecuación

-7 + 2y = 3(-4 - 3y) / 3
-7 + 2y = -12 - 9y
9y + 2y = -12 + 7
11y = -5 ---> y = -5 / 11

5) Sustituir el resultado del paso 4 en cualquiera de las ecuaciones del punto 2.

x = -4 - 3y ---> x = -4 - 3(-5 / 11) = -29 / 11
y = -5 / 11

6) Solución

x = -29/11, y = -5/11

Resolución por Reducción

1) Elegimos la variable a eliminar

Ejemplo: x

2) Verificamos si los coeficientes de la incógnita que queremos eliminar son iguales. Si lo son, saltamos el paso 3; si no, multiplicamos las ecuaciones cruzando los coeficientes.

3x + 3y = 8 ---> 5(3x + 3y) = 5(8) ---> 15x + 15y = 40
5x - 7y = 9 ---> 3(5x - 7y) = 3(9) ---> 15x - 21y = 27

3) Verificamos los signos de los coeficientes de la incógnita que queremos eliminar. Si son iguales, multiplicamos una de las ecuaciones por -1.

15x + 15y = 40
-15x + 21y = -27

4) Sumamos la ecuación de arriba con la ecuación de abajo.

36y = 13

5) Resolver el paso 4

y = 13 / 36

Trigonometría

Aparte del grado sexagesimal, está el radián como medida de ángulos. 360º = 2π rad.

Razones trigonométricas principales: seno (sin), coseno (cos), tangente (tan)

Relaciones entre las razones trigonométricas principales: sin²(x) + cos²(x) = 1 || sin(x) / cos(x) = tan(x)

Medida de ángulos: 0º = 0 rad. | 90º = π / 2 rad. | 180º = π rad. | 270º = 3π / 2 rad. | 360º = 2π rad.

Ejemplo: Encuentra todos los elementos de un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 30º y un cateto opuesto de 20cm.

co = h * sin(θ) cc = h * cos(θ) 180 - 30 - 90 = 60º
20 = h * sen(30) cc = h * cos(30)
20 / 0.5 = h = 40 cc = 40 * cos(30)
cc ≈ 34.64

Funciones

Una función es una relación matemática que asocia los elementos de un conjunto A (conjunto de salida) con un único elemento de otro conjunto B (conjunto de llegada).

Representación de las funciones:

f: R -> R
x -> 2x
Ejemplo: g(x) = 2x
0 -> 0
1 -> 2
2 -> 4

Buscar la imagen:

Función: f: R -> R
x -> (3 + 4x) / x
f(x) = (3 + 4x) / x
Ejemplos:
f(2) = (3 + 4 * 2) / 2 = 5.5
f(-1) = (3 + 4 * (-1)) / -1 = 1
f(0) = No está definido (división por cero)