Resolución de Ejercicios de Matemáticas II: Matrices, Funciones y Probabilidad

Ejercicio A1: Invertibilidad de Matrices y Determinantes

a) Mediante el cálculo del determinante, determinaremos cuándo la matriz no es invertible.

Dada la matriz:

| 1 3 1 |
| a 0 8 |
| −1 a −6 |

El determinante se calcula como: −24 + a² − 8a + 18a = a² + 10a − 24.

Igualando esta expresión a 0 y resolviendo la ecuación de segundo grado, obtendremos los valores para los que la matriz no admite inversa. El resultado es:

a = −12 o a = 2. Para todos los demás valores de a, la matriz sí es invertible.

b) Sistema Homogéneo

Para a = 0, la matriz A es invertible. Por tanto, el sistema es compatible determinado. Al tratarse de un sistema homogéneo, la única solución posible es la trivial: x = 0, y = 0, z = 0.

Ejercicio A2: Resolución de Ecuaciones Matriciales

Pasando uno de los términos al miembro de la izquierda y sacando factor común, podemos reescribir la ecuación de la siguiente forma:

[(3 1; −1 2) + (1 0; 4 −1)] · X = (2 0; 1 4)

De donde despejamos X:

X = (4 1; 3 1)⁻¹ · (2 0; 1 4) = (1 −1; −3 4) · (2 0; 1 4) = (1 −4; −2 16)

Ejercicio A3: Estudio de Funciones y Asíntotas

a) Asíntotas Verticales y Oblicuas

La función presenta asíntotas verticales en x = −1 y x = 1.

Si existen asíntotas horizontales u oblicuas, estas son de la forma y = mx + n, donde:

m = lim (x→±∞) f(x)/x

En este caso: lim (x→−∞) f(x)/x = lim (x→∞) f(x)/x = lim (x→∞) x³ / (x − x³) = −1.

La ordenada en el origen n viene dada por:

n = lim (x→∞) (f(x) − mx) = lim (x→∞) (x³ / (1 − x²) + x) = lim (x→∞) (x³ + x − x³) / (1 − x²) = 0.

Por lo tanto, la función tiene una asíntota oblicua en la recta y = −x.

b) Derivada y Monotonía

Calculamos la primera derivada:

f'(x) = [3x²(1 − x²) + 2x · x³] / (1 − x²)² = (3x² − x⁴) / (1 − x²)² = [x²(3 − x²)] / (1 − x²)².

Así, f'(x) > 0 si |x| < √3. Teniendo en cuenta los puntos de discontinuidad, el comportamiento de la función es:

• f decrece en el intervalo (−∞, −√3) ∪ (√3, ∞).
• f crece en el intervalo (−√3, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, √3).

Ejercicio A4: Probabilidad y Ley de Laplace

a) Aplicamos la Ley de Laplace para calcular la probabilidad general:

• Casos favorables: 1800 + 2400 + 3000 = 7200.
• Casos posibles: 30000.

La probabilidad es: 7200 / 30000 = 6 / 25.

b) Interpretando los datos específicos solicitados:

• Favorables: 1800.
• Posibles: 7200.

La probabilidad resultante es: 1800 / 7200 = 1 / 4.

Ejercicio A5: Estadística e Intervalos de Confianza

a) El radio del intervalo de confianza viene dado por la expresión: z_{α/2} · (σ / √n). Sustituyendo los datos proporcionados:

1,64 · (20 / √250) = 2,07.

Así, el intervalo de confianza pedido es (87,93; 92,07).

b) Aplicando la misma expresión para determinar el tamaño mínimo de la muestra:

1,64 · (20 / √n) ≤ 1

De donde despejamos n: √n ≥ 1,64 · 20 ⇒ n ≥ (1,64 · 20)² = 1075,85.

Por lo tanto, la muestra debe tener un tamaño mínimo de 1076 adultos.