Resolución de Ejercicios de Movimiento Vertical: Cálculo de Altura y Velocidad en Lanzamientos

Problema N.º 3: Movimiento Vertical con Velocidad Parcial Conocida

Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba, alcanzando una velocidad de 8 m/s al llegar a un tercio de su altura máxima.

1. ¿Qué altura máxima alcanzará?
2. ¿Cuál es su velocidad inicial?
3. ¿Cuál es la velocidad media durante el primer segundo del movimiento?

Utilizar g = 10 m/s².

Desarrollo del Problema N.º 3

Ecuaciones de Cinemática para Movimiento Vertical:

1. v_f = v₀ + g·t
2. y = v₀·t + (1/2)·g·t²
3. v_f² - v₀² = 2·g·h

a) Cálculo de la Altura Máxima (H_máx):

Sabemos que la velocidad es 8 m/s a 1/3 de la altura máxima. Esto significa que los 8 m/s son la velocidad inicial para el tramo restante de 2/3 de la altura máxima, hasta que la velocidad final sea 0 m/s.

Aplicamos la ecuación (3) para el tramo superior (desde 1/3 H_máx hasta H_máx):

v_f² - v₀² = 2·g·h_adicional

0² - (8 m/s)² = 2·(-10 m/s²)·h_adicional

-64 m²/s² = -20 m/s²·h_adicional

h_adicional = (-64 m²/s²) / (-20 m/s²) = 3,2 m

Esta altura adicional (3,2 m) corresponde a los 2/3 restantes de la altura máxima total (H_máx).

Por lo tanto, si 2/3 H_máx = 3,2 m, entonces 1/3 H_máx = 3,2 m / 2 = 1,6 m.

La altura máxima total es:

H_máx = 1,6 m + 3,2 m = 4,8 m

b) Cálculo de la Velocidad Inicial (v₀):

Ahora, para encontrar la velocidad inicial desde el suelo (v_{0_suelo}), aplicamos la ecuación (3) desde el punto de lanzamiento (v_{0_suelo}) hasta la altura máxima (H_máx = 4,8 m), donde la velocidad final es 0 m/s.

v_f² - v_{0_suelo}² = 2·g·H_máx

0² - v_{0_suelo}² = 2·(-10 m/s²)·(4,8 m)

-v_{0_suelo}² = -96 m²/s²

v_{0_suelo} = √(96 m²/s²) ≈ 9,8 m/s

c) Cálculo de la Velocidad Media durante el Primer Segundo:

Primero, calculamos el tiempo total que tarda el cuerpo en alcanzar la altura máxima desde el suelo, utilizando la velocidad inicial calculada en el punto (b) y la ecuación (1):

v_f = v_{0_suelo} + g·t_Hmax

0 = 9,8 m/s + (-10 m/s²)·t_Hmax

t_Hmax = -(9,8 m/s) / (-10 m/s²) = 0,98 s

Con este resultado, observamos que el tiempo empleado en alcanzar la altura máxima desde el suelo (0,98 s) es inferior a 1 segundo. Por lo tanto, el cuerpo ya ha alcanzado su altura máxima y ha comenzado a descender antes de que transcurra el primer segundo completo. En consecuencia, no es posible calcular la velocidad media durante el primer segundo completo del movimiento ascendente, ya que el movimiento cambia de dirección.

Problema N.º 2: Lanzamiento Vertical de una Piedra desde un Edificio

Un niño dispara una piedra con una honda, verticalmente hacia arriba, desde la planta baja de un edificio. Un amigo ubicado en el piso 7 (21 m), ve pasar la piedra con una velocidad de 3 m/s. Calcular:

1. ¿A qué altura llega la piedra respecto del suelo?
2. ¿Qué velocidad tendrá la piedra al segundo de haber sido lanzada?
3. ¿Cuánto tardará en llegar desde el 7° piso a la altura máxima?

Utilizar g = 10 m/s².

Desarrollo del Problema N.º 2

Ecuaciones de Cinemática para Movimiento Vertical:

1. v_f = v₀ + g·t
2. y = v₀·t + (1/2)·g·t²
3. v_f² - v₀² = 2·g·h

a) Cálculo de la Altura Máxima (H_máx) respecto del suelo:

Aplicamos la ecuación (3) para el tramo desde la altura de observación (21 m, donde v = 3 m/s) hasta la altura máxima (donde v_f = 0 m/s).

v_f² - v_obs² = 2·g·h_adicional

0² - (3 m/s)² = 2·(-10 m/s²)·h_adicional

-9 m²/s² = -20 m/s²·h_adicional

h_adicional = (-9 m²/s²) / (-20 m/s²) = 0,45 m

La altura máxima total respecto del suelo es la suma de la altura de observación y la altura adicional:

H_máx = h_obs + h_adicional = 21 m + 0,45 m = 21,45 m

b) Cálculo de la Velocidad de la Piedra al Segundo de haber sido Lanzada:

Primero, necesitamos calcular la velocidad inicial de lanzamiento desde el suelo (v_{0_suelo}). Usamos la ecuación (3) desde el suelo hasta la altura máxima total (H_máx = 21,45 m).

v_f² - v_{0_suelo}² = 2·g·H_máx

0² - v_{0_suelo}² = 2·(-10 m/s²)·(21,45 m)

-v_{0_suelo}² = -429 m²/s²

v_{0_suelo} = √(429 m²/s²) ≈ 20,71 m/s

Ahora, con la velocidad inicial desde el suelo, calculamos la velocidad de la piedra al segundo de haber sido lanzada, usando la ecuación (1):

v_f = v_{0_suelo} + g·t

v_f = 20,71 m/s + (-10 m/s²)·(1 s)

v_f = 20,71 m/s - 10 m/s = 10,71 m/s

c) Cálculo del Tiempo para llegar desde el 7° Piso a la Altura Máxima:

Utilizamos la ecuación (1) para el tramo desde el 7° piso (donde v = 3 m/s) hasta la altura máxima (donde v_f = 0 m/s).

v_f = v_obs + g·t_{7th_to_Hmax}

0 = 3 m/s + (-10 m/s²)·t_{7th_to_Hmax}

t_{7th_to_Hmax} = -(3 m/s) / (-10 m/s²) = 0,3 s