Resolución de la Ley de Enfriamiento de Newton: Cálculo de Tiempo y Temperatura

Identificación de datos:

• Tm = 120 °F
• T = 40 °F
• Tma = 100 °F
• Tmb = 140 °F
• Tmc = 80 °F

Modelo y Condiciones Iniciales

Se identifica un problema de la Ley de Enfriamiento de Newton, que se modela mediante la siguiente ecuación diferencial:

dT/dt = k(Tm - T)

Las condiciones iniciales son:

• T(0) = 40
• T(45) = 90

Resolución del Modelo por Separación de Variables

La ecuación diferencial se resuelve por separación de variables:

∫dT/(Tm - T) = ∫k dt

ln(Tm - T) = kt + C

Tm - T = e^(kt) + e^C

T = C e^(kt) + Tm

Método de Solución

Utilizamos la ecuación obtenida para facilitar el proceso:

T = C e^(kt) + Tm

Cálculo de la Constante k

Con las condiciones iniciales, donde Tm = 120 y T(0) = 40:

40 = C e^(k(0)) + 120

40 = C + 120

C = -80

Usando T(45) = 90:

90 = -80 e^(k(45)) + 120

-30 = -80 e^(k(45))

3/8 = e^(k(45))

ln(3/8) = k(45)

k = (ln(3/8))/45

k ≈ -0.02180

Ecuación General con la Constante k

La ecuación general es:

T(t) = C e^(-0.02180t) + Tm

Aplicación de Condiciones Iniciales

Literal A: Tm = 100, T(0) = 40

40 = C e^(k(0)) + 100

40 = C + 100

C = -60

Ecuación general para el literal A:

T(t) = -60 e^(-0.02180t) + 100

Para T(t) = 90:

90 = -60 e^(-0.02180t) + 100

-10 = -60 e^(-0.02180t)

1/6 = e^(-0.02180t)

ln(1/6) = -0.02180t

t = (ln(1/6)) / -0.02180

t ≈ 82.19 minutos

Literal B: Tm = 140, T(0) = 40

40 = C e^(k(0)) + 140

40 = C + 140

C = -100

Ecuación general para el literal B:

T(t) = -100 e^(-0.02180t) + 140

Para T(t) = 90:

90 = -100 e^(-0.02180t) + 140

-50 = -100 e^(-0.02180t)

1/2 = e^(-0.02180t)

ln(1/2) = -0.02180t

t = (ln(1/2)) / -0.02180

t ≈ 31.79 minutos

Literal C: Tm = 80, T(0) = 40

40 = C e^(k(0)) + 80

40 = C + 80

C = -40

Ecuación general para el literal C:

T(t) = -40 e^(-0.02180t) + 80

Para T(t) = 90:

90 = -40 e^(-0.02180t) + 80

10 = -40 e^(-0.02180t)

-1/4 = e^(-0.02180t)

ln(-1/4) = -0.02180t

t = (ln(-1/4)) / -0.02180

Esta última ecuación es imposible porque una función exponencial nunca es negativa. Por lo tanto, la temperatura nunca alcanza el valor deseado de 90°F.