Resolución de Problemas de Apolonio y Construcción de Curvas Cónicas

Clasificado en Matemáticas

Escrito el 4 de Enero de 2026 en español con un tamaño de 4,91 KB

Resolución de Problemas de Apolonio

Procedimiento: Unimos los dos puntos y trazamos la mediatriz del segmento resultante.
Dibujamos una circunferencia auxiliar que contenga los puntos y corte a la circunferencia dada.
Hallamos el eje radical de la circunferencia auxiliar y la principal.
Prolongamos la unión de los puntos iniciales; el punto donde corte al eje radical será el centro radical.
Trazamos la tangente (tg) desde ese punto a la circunferencia principal para obtener los puntos de tangencia.

Procedimiento: Unimos los dos puntos hasta que corten con la recta dada.
Trazamos la mediatriz del segmento que une los puntos.
Realizamos una circunferencia auxiliar que pase por los puntos.
Desde el punto de intersección en la recta, trazamos las tangentes a esa circunferencia auxiliar.
Pinchando en dicho punto auxiliar con apertura hasta el punto de tangencia (T), obtenemos los puntos de tangencia en la recta.
Finalmente, los subimos con una perpendicular al eje.

Procedimiento: El punto se toma como polo de inversión y la circunferencia se convierte en ella misma.
Sacamos las tangencias y realizamos la circunferencia de puntos dobles (cpd).
Invertimos la recta, que se transformará en una circunferencia que pase por el polo.
Trazamos las tangentes comunes con la otra circunferencia.
Invertimos esas tangentes para obtener las soluciones, que serán circunferencias que pasen por el polo.

Procedimiento: El punto se toma como polo. Una de las circunferencias se convierte en ella misma y la otra se invierte, obteniéndose otra circunferencia que no pasa por el polo.
Se trazan las tangentes comunes de las figuras inversas.
Se invierten esas tangentes obteniéndose la solución final.

Propiedades: Distancia del eje mayor = 2a. Distancia del foco al punto B = a.
Tangente Interior: Se une el punto con los focos y se realiza la bisectriz del ángulo que forman.
Tangente Exterior: Se traza una circunferencia con centro en P y radio PF. Se dibuja la circunferencia focal desde F' con radio AA'. La intersección de ambas circunferencias se une con F y se trazan las mediatrices.

Propiedades: Distancia de la directriz al foco = 2a. Distancia de la directriz al vértice = a.
Tangente Interior: Se traza una perpendicular a la directriz por el punto, se une con el foco (F) y se realiza la bisectriz.
Tangente Exterior: Con centro en el punto y radio PF, donde corte a la directriz, se une con el foco y se realiza la mediatriz de los segmentos.

Propiedades: Se construye el rectángulo AA'BB'. El círculo que contenga dicho cuadrado nos dará la posición de los focos.
Tangente Interior: Se une el punto con los focos y se traza la bisectriz del ángulo formado.
Tangente Exterior: Se traza la circunferencia principal con centro en O y radio OA. Se dibuja una circunferencia que pase por P y por F; donde corte con la circunferencia principal, se une con P cada punto. Para los puntos de tangencia, se une O con cada corte de la circunferencia y se trazan paralelas por F y F'.

Reglas de transformación de elementos:

Circunferencia que pasa por el centro: Se transforma en una recta que no pasa por el centro.
Circunferencia que no pasa por el centro: Se transforma en una circunferencia que no pasa por el centro.
Recta que sí pasa por el centro: Se transforma en una recta que sí pasa (ella misma).
Recta que no pasa por el centro: Se transforma en una circunferencia que sí pasa por el centro.

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