Resolución de Problemas de Estructuras de Mercado: Monopolio y Competencia

Resolución de Ejercicios de Estructuras de Mercado

5. Análisis de una Industria con una Única Empresa

Se presenta una industria con las siguientes características:

• Función de Coste Total (CT) de cada empresa: C = 100 + 2Q²
• Función de Coste Marginal (CM): CM = 4Q
• Curva de Demanda de la Industria: P = 90 - 2Q
• Curva de Ingreso Marginal (IM) de la Industria: IM = 90 - 4Q

a) Cálculo en Régimen de Monopolio (Una sola empresa)

Si solo existe una empresa en la industria, actuará como un monopolio, maximizando beneficios donde IM = CM.

Aplicando la condición de maximización:

$$90 - 4Q = 4Q$$

Despejando Q:

$$8Q = 90$$ $$Q = 11,25$$

Para esta cantidad, el precio se determina usando la curva de demanda:

$$P = 90 - 2(11,25) = 90 - 22,50 = \$67,50$$

El nivel de beneficios ($\pi$) se calcula como Ingreso Total menos Coste Total:

$$\pi = PQ - C$$ $$\pi = (67,50)(11,25) - [100 + 2(11,25)^2]$$ $$\pi = 759,375 - [100 + 2(126,5625)]$$ $$\pi = 759,375 - [100 + 253,125]$$ $$\pi = 759,375 - 353,125 = \$406,25$$

Resultado Monopolio: Precio = $67,50; Cantidad = 11,25; Beneficio = $406,25.

b) Cálculo en Régimen de Competencia Perfecta

Si la industria es competitiva, el equilibrio se establece donde el Precio es igual al Coste Marginal (P = CM).

Igualando la demanda y el coste marginal:

$$90 - 2Q = 4Q$$ $$90 = 6Q$$ $$Q = 15$$

Para esta cantidad, el precio de mercado será:

$$P = 90 - 2(15) = 90 - 30 = \$60$$

Cálculo de los beneficios ($\pi$):

$$\pi = P Q - C$$ $$\pi = (60)(15) - [100 + 2(15)^2]$$ $$\pi = 900 - [100 + 2(225)]$$ $$\pi = 900 - [100 + 450]$$ $$\pi = 900 - 550 = \$350$$

Resultado Competencia: Precio = $60; Cantidad = 15; Beneficio = $350.

6. Optimización de Producción en una Empresa con Dos Fábricas

Una empresa opera con dos fábricas con costes definidos por:

• Fábrica 1: $$C_1(Q_1) = 10Q_1^2$$
• Fábrica 2: $$C_2(Q_2) = 20Q_2^2$$

La empresa se enfrenta a la siguiente curva de demanda:

$$P = 700 - 5Q$$

Donde la producción total es $$Q = Q_1 + Q_2$$

a) Representación Gráfica y Determinación de Costes Marginales

Primero, se determina el Ingreso Total (IT) y el Ingreso Marginal (IM) para la producción total Q:

$$IT = P Q = (700 - 5Q)Q = 700Q - 5Q^2$$ $$IM = \frac{dIT}{dQ} = 700 - 10Q$$

A continuación, se derivan los Costes Marginales (CM) para cada fábrica:

Costes Marginales Individuales

Fábrica 1

$$CM_1 = \frac{dC_1}{dQ_1} = 20Q_1$$

Fábrica 2

$$CM_2 = \frac{dC_2}{dQ_2} = 40Q_2$$

Para la maximización de beneficios en una empresa con múltiples plantas, se debe cumplir la condición de que el Ingreso Marginal sea igual al Coste Marginal de cada planta:

$$IM = CM_1 = CM_2$$

b) Cálculo de la Producción ($Q_1, Q_2, Q$) y Precio ($P$) que Maximizan los Beneficios

Para encontrar la producción total que maximiza el beneficio, se iguala el Ingreso Marginal al Coste Marginal Total (aunque implícitamente se usa la condición $IM = CM_1 = CM_2$):

El proceso se centra en igualar $IM$ a los $CM$ individuales, asegurando que el nivel de producción total $Q$ sea el óptimo.

El punto de equilibrio requiere:

$$IM = CM_1$$ $$IM = CM_2$$

Para resolver, primero se debe encontrar el nivel de producción total $Q$ que satisface la condición de equilibrio global, que se obtiene al igualar $IM$ al $CM$ agregado (o resolviendo el sistema de ecuaciones). Usaremos la condición de igualdad de costes marginales para la asignación óptima:

De $CM_1 = CM_2$ se obtiene una relación entre $Q_1$ y $Q_2$ (aunque no es estrictamente necesario si se usa $IM$):

$$20Q_1 = 40Q_2 \implies Q_1 = 2Q_2$$

La producción total es $Q = Q_1 + Q_2$. Sustituyendo la relación anterior:

$$Q = 2Q_2 + Q_2 = 3Q_2$$

El nivel óptimo de producción total $Q$ se encuentra cuando el $IM$ es igual al $CM$ agregado (o resolviendo el sistema). Si se utiliza la condición $IM = CM$ para la producción total, se debe derivar el CT total y luego el CM total, pero el método estándar es usar la igualdad de CMs y el IM:

El cálculo presentado en el documento original parece haber encontrado $Q$ primero igualando $IM$ a un $CM$ implícito o resolviendo el sistema para encontrar el punto donde la asignación es eficiente:

Si se asume que el punto de maximización se encuentra cuando $IM$ es igual al $CM$ que corresponde a la producción total $Q$ que resulta de la asignación óptima:

El documento original indica que al resolver el sistema se obtiene:

$$Q = 30$$

Verificación con $Q=30$:

En el punto de equilibrio óptimo, el $IM$ debe ser igual al $CM$ de cada fábrica:

$$IM = 700 - 10(30) = 700 - 300 = 400$$

Ahora se asigna esta producción a cada fábrica:

Asignación a Fábrica 1:

$$CM_1 = 400 \implies 20Q_1 = 400 \implies Q_1 = 20$$

Asignación a Fábrica 2:

$$CM_2 = 400 \implies 40Q_2 = 400 \implies Q_2 = 10$$

Verificación de la producción total:

$$Q = Q_1 + Q_2 = 20 + 10 = 30$$ (Consistente con el valor de $Q$ encontrado).

Para encontrar el precio, sustituimos la producción total $Q=30$ en la función de demanda:

$$P = 700 - 5(30) = 700 - 150 = \$550$$

Resultados de Maximización de Beneficios:

• Producción Fábrica 1 ($Q_1$): 20 unidades
• Producción Fábrica 2 ($Q_2$): 10 unidades
• Producción Total ($Q$): 30 unidades
• Precio ($P$): $550